(Cefet - MG) Qual é o valor da expressão:

$\large\sf\sqrt[\sf n]{\sf\dfrac{72}{9^{n+2}-3^{2n+2}}}\\\\\\\\ \large\sf a)\ 3^{-2}\\\\ \large\sf b)\ 3^{-1}\\\\ \large\sf c)\ 3\\\\ \large\sf d)\ 3^2$

Respostas

respondido por: Nasgovaskov

⠀⠀O valor da expressão dada se configura na alternativa a) $\boldsymbol{3^{-\,2}}$ .

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Resolução

⠀⠀Temos a seguinte expressão algébrica para resolver:

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$\LARGE\begin{array}{l}\sqrt[n]{\dfrac{72}{9^{n\,+\,2}-3^{2n\,+\,2}}}\end{array}$

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⠀⠀Perceba que essa diferença de potências de bases diferentes pode ser reescrita numa diferença de potências de mesma base, tendo em vista que 9 é igual a 3². Por consequência disso teremos uma potência de potência, em que nestas condições podemos multiplicar os expoentes:

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$\Large\begin{array}{c}\qquad\quad\sqrt[n]{\dfrac{72}{9^{n\,+\,2}-3^{2n\,+\,2}}}\\\\\Leftrightarrow~~~~~\sqrt[n]{\dfrac{72}{(3^2)^{n\,+\,2}-3^{2n\,+\,2}}}\\\\\Leftrightarrow~~~~~\sqrt[n]{\dfrac{72}{3^{2n\,+\,4}-3^{2n\,+\,2}}}\end{array}$

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⠀⠀Por conseguinte, sabemos que o produto de potências de mesma base é igual a essa base elevada à soma de seus expoentes. Logo, $3^{2n\,+\,4}=3^{2n}\cdot3^4$ e $3^{2n\,+\,2}=3^{2n}\cdot3^2$ . Por conta disso, podemos colocar o fator $3^{2n}$ em evidência, de modo a encontrar:

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$\Large\begin{array}{c}\qquad\quad\sqrt[n]{\dfrac{72}{3^{2n}\cdot(3^4-3^2)}}\\\\\Leftrightarrow~~~~~\sqrt[n]{\dfrac{72}{3^{2n}\cdot(81-9)}}\\\\\Leftrightarrow~~~~~\sqrt[n]{\dfrac{\diagdown\!\!\!\!\!72}{3^{2n}\cdot\diagdown\!\!\!\!\!72}}\\\\\Leftrightarrow~~~~~\sqrt[n]{\dfrac{1}{3^{2n}}}\end{array}$

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⠀⠀Sabemos que a raiz de uma divisão de dois fatores é igual a divisão das raízes desses fatores (ambos no mesmo índice):

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$\Large\begin{array}{c}\qquad\quad\dfrac{\sqrt[n]{1}}{\sqrt[n]{3^{2n}}}\end{array}$

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⠀⠀Assim, veja que no numerador a raiz de 1 independentemente do índice sempre será igual a 1, e no denominador podemos simplificar o índice e o expoente do radicando por $n$ . Dessa forma teremos:

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$\Large\begin{array}{c}\qquad\quad\dfrac{1}{\sqrt[n\,:\,n]{3^{2n\,:\,n}}}\\\\\Leftrightarrow~~~~~\dfrac{1}{3^2}\end{array}$

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⠀⠀E por fim, sabemos que uma potência de expoente negativo é o inverso dessa potência com esse expoente positivo. Sendo assim, fazendo o processo contrário temos:

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$\Large\begin{array}{c}\qquad\quad\dfrac{1}{3^2}=3^{-2}\end{array}$

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⠀⠀Dessa forma, conclui-se que $\small\text{$\sqrt[n]{\dfrac{72}{9^{n\,+\,2}-3^{2n\,+\,2}}}=3^{-\,2}$}$ . Logo a alternativa a) responde essa questão.

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$\!\!\!\!\Large\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}$