Question

Um elevador pode suportar uma carga de 10 pessoas ou um peso total de 1750 libras. Assumindo que apenas homens tomam o elevador e que seus pesos são normalmente distribuídos com média 165 libras e desvio-padrão de 10 libras, qual a probabilidade de que o peso limite seja excedido para um grupo de 10 homens escolhidos aleatoriamente?

Answer 1

Esse exercício é uma aplicação do Teorema do Limite Central.

Esse teorema diz que, conhecendo-se a média e o desvio padrão de uma população, escolhendo-se uma amostra suficientemente razoável dessa população, n, a probabilidade dessa amostra ter cada um peso maior que 175 libras seguirá uma distribuição normal com:

$\sigma_X = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$

Então, neste caso:

$\sigma_X = \dfrac{10}{\sqrt{10}}\approx 3.1623$

A média continua sendo 165.

Assim, a probabilidade desses 10 homens pesarem mais do que 175 libras cada um pode ser calculada pela integral:

$I = \int_{175}^{\infty} \dfrac{1}{\sqrt{2 \cdot \pi} \cdot 3.1623} \cdot e^{-\frac{(x-165)^2}{2\cdot 3.1623^2}}\cdot dx$

O resultado dessa integral, de acordo com o Wolfram Alpha, é:

0.000782761

Ou seja, a probabilidade disso ocorrer é 0.07827%