Question

Usando a regra de Sarrus para o cálculo do determinante de matriz quadrada de ordem 3, verifique se os pontos abaixo estão alinhados. Veja se consegue encontrar a área do triângulo formado pelos pontos que não estão alinhados:
a)A(1,2), B(2,0) e C(3,-2)
b)M(-3,-7), N(1,5) e O(-3,5)

Answer 1

Vamos lá.

Veja: para que dois ou mais pontos estejam alinhados (estejam na mesma linha) é necessário que seja igual a "0" o determinante da matriz formada pelas coordenadas dos pontos dados.
Vamos, então, ver qual é o valor do determinante da matriz formada pelas coordenadas dos pontos:

a) A(1; 2), B(2; 0) e C(3; -2) ----- formando a matriz, e já colocando-a na forma de desenvolvê-la (utilizando-se a regra de Sarrus), teremos:

|1...2....1|1....2|
|2...0...1|2...0| ------ desenvolvendo, teremos:
|3..-2...1|3..-2|

d = 1*0*1+2*1*3+1*2*(-2) - [3*0*1+(-2)*1*1+1*2*2]
d = 0 + 6 - 4 - [0 - 2 + 4]
d = 2 - [ 2 ] ---- retirando-se os colchetes, ficaremos apenas:
d = 2 - 2
d = 0 <--- Veja: como o determinante deu igual a "0", então os pontos A, B e C estão alinhados (ou seja, estão numa mesma linha).

b) M(-3; -7), N(1; 5) e O(-3; 5) ----- fazendo a mesma coisa que fizemos na questão anterior, teremos:

|-3...-7...1|-3...-7|
|.1....5....1|.1......5| ---- desenvolvendo, teremos:
|-3....5...1|-3.....5|

d = -3*5*1+(-7)*1*(-3)+1*1*5 - [-3*5*1+5*1*(-3)+1*1*(-7)]
d = -15 + 21 + 5 - [- 15 - 15 - 7]
d = 11 - [- 37] ------ retirando-se os colchetes, ficaremos com:
d = 11 + 37
d = 48 <--- Este é o valor do determinante da matriz da questão do item "b". E, como o determinante deu diferente de zero, então os pontos M, N e O,da questão do item "b",  NÃO estão alinhados.

Agora vamos calcular a área do triângulo formado pelos pontos que NÃO estão alinhados. Para isso, basta que calculemos 1/2 do módulo do valor do determinante (48). Assim, a área (A) do triângulo formado pelos pontos M, N e O será:

A = (1/2)*|48| ---- ou apenas:
A = 1*|48)/2 ------ como |48| = 48, teremos:
A = 1*48/2
A = 48/2
A = 24 u.a. <---- Esta é a resposta da questão do item "b". (OBS: u.a. = unidades de área).

Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.