Question

Considere a função: $f(x) = \frac{1-2x}{3+x}.$
Usando a definição de derivada, calcule $f'(a)$. Aqui $a\neq -3$ é um número real qualquer.

Answer 1

Este problema é mecanicamente trabalhoso, mas a matemática dele é razoavelmente simples. A definição de derivada em funções de uma variável é:

$f'(x) = \lim_{h\to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Para nossa função, podemos escrever, substituindo:

$f'(x) = \lim_{h\to 0} \dfrac{\frac{1-2(x+h)}{3+(x+h)}-\frac{1-2x}{3+x}}{h}$

Colocando no mesmo denominador, fica:

$f'(x) = \displaystyle\lim_{h\to 0} \dfrac{[1-2(x+h)](3+x)-(1-x)(3+x+h)}{h(3+x)[(3+x)+h]} \\ \\ \\ f'(x) =\displaystyle\lim_{h\to 0} \dfrac{\not{3}-\bold{6x}-6h+\not{x}-\boxed{2x^2}-\overbrace{2xh}-\not{3}-\not{x}-h+\bold{6x}+\boxed{2x^2}+\overbrace{2xh}}{h(3+x)[(3+x)+h]}$

Acima eu expandi e destaquei todas as parcelas que se anulam. Se reescrevermos, encontramos:

$f'(x) = \displaystyle\lim_{h\to 0} \dfrac{-7\not{h}}{\not{h}(3+x)[(3+x)+h]}$

$f'(x)=\displaystyle\lim_{h\to0} \dfrac{-7}{(3+x)[(3+x)+h]}$

E nesse limite podemos substituir h = 0 sem problemas com indeterminações, o que nos leva à resposta:

$f'(x) = \dfrac{-7}{(3+x)[(3+x)+0]}\\\\\\ f'(x) = \dfrac{-7}{(3+x)^2 }$

Para um número real  $a\neq -3$ qualquer, temos, finalmente:

$\boxed{f'(a) = \dfrac{-7}{(3+a)^2 }} ~~~\star$

E mais adiante no curso de cálculo será aprendida a regra do produto, que é muito prática para resolver derivadas de quocientes!