Question

(x+3)!+(×+2)!=8(x+1)!

Answer 1

Condições para a solução:

x + 3 ≥ 0      ⇔     x ≥ -3
x + 2 ≥ 0       ⇔    x ≥ -2
x + 1 ≥ 0        ⇔    x ≥ -1, logo x tem que se maior ou igual a menos 1

Resolvendo:
( x + 3). (x+ 2) . ( x + 1 )! + ( x + 2) . ( x +1 )! = 8 (x +1 )!  
divide o 2 membros por ( x + 1)!

⇔  ( x + 3). ( x+ 2) = 8

x² + 5x + 6 + x +2 = 8
x² + 6x + 8 = 8
x² + 6x = 0

x.(x + 6)=0

x+ 6 = 0     ⇒  x= -6, não é solução, porque tem ser x ≥-1

x =0 , é a solução 

Answer 2

y = (x - 1) × .. × 1
(x + 3).(x+ 2).(x+1).x.y + (x+2).(x+ 1).x.y = 8 (x+1).x.y
(Dividindo os termos por (x+1).x.y, temos:)
(x+3)(x+2) + (x+2) = 8
(x+4)(x+2) = 8
x^2 + 6x + 8 = 8
x^2 + 6x = 0
x(x+6) = 0
x' = 0
x" = -6 (é menor que 0, não se encaixa em fatoriais, portanto a solução é 0)