Question

Suponha que uma rã, ao saltar do solo, tenha sua posição no espaço descrita em função do tempo (em segundos) pela expressão y = –x2 + 1,5x, em que y é a altura atingida em metros e x é o tempo em segundos. Determine o intervalo de tempo que a rã permanece no ar.

Answer 1

Resposta:

S = { x ∊R | 0 < x < 1,5 }

Leitura: x pertence ao conjunto de números reais, onde x é maior que 0 e menor que 1,5.

Explicação passo-a-passo:

Utilizando a fórmua de Bhaskara:

$- {x}^{2} + 1.5x > 0 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ Δ = {b}^{2} - 4ac \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ Δ = {1.5}^{2} - 4 \times - 1 \times 0 \\ Δ = 2.25 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

$x = (- b + - \sqrt{Δ} ) \div 2 \times a$

x' = (-1.5 + √2.25) ÷ 2 × (-1)

x' = (-1,5 + 1,5) ÷ -2

x' = 0

x" = (-1.5 - √2.25) ÷ 2 × (-1)

x" = (-1,5 - 1,5) ÷ -2

x" = -3 ÷ -2

x" = 1,5

Logo, temos que as raízes da função são 0 e 1,5

Como a função é positiva, temos o gráfico (apenas representativo), a parte vermelha corresponde ao valor de x, que é maior que 0 e menor que 1,5.

Foi isso que pus na minha resposta, espero que tenha ajudado ♡

Answer 2

O intervalo de tempo que a rã permanece no ar, em segundos, é igual a 1,5s.

Informação útil:

As raízes de uma função quadrática podem ser calculadas pela fórmula de Bháskara, que é definida por:

$x_{1,2} =\frac{(-b)+-(\sqrt{b^{2} -4*a*c} }{2*a}$

Onde a, b e c são os coeficientes de uma equação da forma y = ax² + bx +c.

Explicação passo a passo:

A posição da rã no espaço, ao saltar, é definida por y = -x² + 1,5x, onde a = -1, b = 1,5 e c = 0. Nesse problema, quando y = 0, significa que a rã está no solo. O tempo em que a rã passa no ar é o intervalo entre as duas raízes da função, que são os valores onde a rã sai do solo (y = 0) e volta ao solo (y = 0).

Na equação do segundo grau dada, temos que a = -1, b = 1,5 e c = 0. Pela fórmula de Bháskara, as raízes da equação são:

$x_{1} =\frac{(-1,5)+\sqrt{(1,5)^{2} -4*(-1)*0} }{2*(-1)} =\frac{-1,5+1,5}{-2} =0$

$x_{2} =\frac{(-1,5)-\sqrt{(1,5)^{2} -4*(-1)*0} }{2*(-1)}=\frac{-1,5-1,5}{-2}=\frac{3}{2}=1,5$

Como o intervalo de tempo em que a rã fica no ar é o intervalo de $x_{1}$ até $x_{2}$, podemos concluir que o intervalo de tempo, em segundos, é:

1,5s - 0s = 15s

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