Question

Sendo a,b,c números reais prove que:
a²+b²+c² >= ab+ac+bc

Answer 1

PELA DESIGUALDADE TRIANGULAR TEMOS QUE:
A > B+ C, OU SEJA, A-B > C
B > A + C , OU SEJA, B- C < A
C > A + B, OU SEJA , C- A > B.
ELEVANDO AMBOS OS LADOS AO QUADRADO TEREMOS:
(A-B)² > C²
(B - C)² > A²
(C-A)² > B².
AGORA FAZENDO AS CONTAS TEREMOS:
A² -2AB +B² > C²
B² -2BC . C² > A²
C² -2AC + A² > B².
SOMANDO TODOS OS MEMBRO TEREMOS:
2A² + 2B² +2C² - 2AB - 2AC - 2BC > A²+ B² + C².
ORA TODO NÚMERO ELEVADO AO QUADRADO É MAIOR OU IGUAL A ZERO! LOGO A²+ B² + C² É MAIOR OU IGUAL AO ZERO!
NO MENOR CASO = 0+0+0 =0.
CONSIDEREMOS A²+ B² + C² =0.
DAÍ,
2A² + 2B² +2C² - 2AB - 2AC - 2BC >= 0.
AGORA BASTA DIVIDIR POR 2 E TEREMOS O RESULTADO ESPERADO.

2A² + 2B² +2C² >= 2AB + 2AC + 2BC
A²+ B² +C² >= AB + AC + BC.
ESPERO TER AJUDADO.