Question

A prefeitura de um pequeno municipio do interior decide colocar pot iluminação ao longo de uma estrada retilinea, que inicia em uma praça centre termina numa fazenda na zona rural. Como a praça já possui iluminação primeiro poste será colocado a 80 metros dela, o segundo, a 100 metros. O terceiro, a 120 metros, e assim sucessivamente, mantendo-se sempre uma distància de 20 metros entre os postes, até que o último poste seja colocado a uma distância de 1.380 metros da praça.Se a prefeitura pode pagar, no máximo R$ 8.000 por poste colocado, o maior valor que poderá gastar com a colocação desses postes ė: *
A) R$512.000
B) R$520.000
C) R$528.000
D) R$552.000
E) R$584.000​

Answer 1

Resposta: C) R$528.000

Explicação passo a passo:

Na figura em anexo podemos ver que o primeiro post foi colocado após 80m da cidade, e pelo texto nos é informado que os próximos postes serão colocados exatamente a 20m um do outro.

O que acaba gerando uma progressão aritmética de razão 20.

Temos a $PA(80,100,120,140,...,1380)$

Aonde o 80 significa o primeiro poste que foi colocado e no enunciado temos que o ultimo poste tem que estar a 1380m da praça.

Como o primeiro foi colocado a 80m da praça então teremos mais 1300m para colocarmos postes e assim completando o 1380m.

(Na figura isso fica mais evidente).

1380m significa o lugar aonde será colocado o ultimo poste.

Precisamos saber em que posição da PA esta localizado 1380m, sabendo a posição saberemos a quantidade de postes que serão colocados e assim o valor total gasto.

$a_n = a_1 + (n-1)\cdot r\\1380 = 80 + (n-1)\cdot20\\1300 = 20n -20\\1320 = 20n\\\therefore n = 66$

Descobrimos que 1380m corresponde a posição 66 e lembrando que cada termo da PA representa um poste colocado então teremos 66 postes colocados.

E para descobrir o valor máximo basta multiplicar 8000 por 66:

$8000\cdot66 = 528000$

Sendo assim R$528.000 a resposta correta.

Podemos resolver com apenas uma divisão e multiplicação.

Se sabemos que o ultimo poste precisa ficar exatamente a 1380m da praça e que o primeiro foi colocado a 80m da praça então nos resta 1300m para colocarmos x postes equidistantes(20m) portanto:

Em 1300m poderemos colocar :

$\displaystyle\frac{1300}{x} = 20\\\\x = \frac{1300}{20} = 65$

em 1300m podemos colocar 65 postes.

o total de postes então será de 65 + 1 = 66 postes

o 1 da soma acima é o primeiro poste colocado a 80m da praça

novamente o resultado final será a multiplicação de 66 por 8000