Question

1) Uma barra de alumínio, coeficiente de dilatação linear 22.10 -6 oC-1 , possui um comprimento de 15 m a 20 ° C, se a barra é aquecida até 50 ° C, determine: a) A dilatação sofrida pela barra; b) O comprimento final da barra.

Answer 1

As respostas são as seguintes: a) 0,0099 m e b) 15,0099 m.

Teoria

A dilatação linear é um fenômeno decorrente da variação de temperatura, que causa uma distorção no comprimento de um determinado material, considerando apenas a dilatação unidimensional.

Cálculo

Em termos matemáticos, a dilatação (variação de comprimento) linear é proporcional ao produto do comprimento inicial pelo coeficiente de dilatação linear pela variação de temperatura, tal como a equação I abaixo:

$\boxed {\sf \Delta L = L_0 \cdot \Large \alpha \normalsize \cdot \Delta T} \; \; \textsf{(equa\c{c}{\~a}o I)}$

Onde:

ΔL = variação do comprimento (em m);

L₀ = comprimento inicial (em m);

α = coeficiente de dilatação linear (em ºC⁻¹);

ΔT = variação de temperatura (em °C).

De modo análogo, também sabemos, de acordo com os estudos em dilatação térmica, que a variação de comprimento é proporcional ao módulo da diferença entre o comprimento final e o comprimento inicial, tal como a equação II abaixo:    

$\boxed {\sf \Delta L = L_F - L_0} \; \; \textsf{(equa\c{c}{\~a}o II)}$  

Onde:    

ΔL = variação de comprimento (em m);    

LF = comprimento final (em m);    

L₀ = comprimento inicial (em m).  

Aplicação

Para a dilatação sofrida

Sabe-se, conforme o enunciado:

$\sf \displaystyle \rightarrow \begin{cases} \sf \Delta L = \textsf{? m} \\\sf L_0 = \textsf{15 m} \\\sf \alpha = \textsf{22} \cdot \textsf{10}^\textsf{-6 } {\° C}^\textsf{-1} \\ \sf \Delta T = T_{final} - T_{inicial} = 50 - 20 = 30 \; \° C \\ \end{cases}$

 

Substituindo na equação I:

$\sf \Delta L = 15 \cdot 22 \cdot 10^\textsf{-6} \cdot 30$

Multiplicando:

$\boxed {\sf \Delta L = \textsf{9,9} \cdot 10^\textsf{-3} \textsf{ m}}} \textsf{ ou } \boxed {\sf \Delta L = \textsf{0,0099 m}}}$

Para o comprimento final

Sabe-se, segundo o enunciado e o cálculo anterior:

$\sf \displaystyle \rightarrow \begin{cases} \sf \Delta L = \textsf{0,0099 m} \\\sf L_F = \textsf{? m} \\ \sf L_0 = \textsf{15 m}\end{cases}$

Substituindo na equação II:

$\sf \textsf{0,0099} = L_F - 15$

Isolando o segundo termo:

$\sf L_F = 15 + \textsf{0,0099}$

Somando:

$\boxed {\sf L_F = \textsf{15,0099 m}}$

Espero que a resposta seja satisfatória e correta, bons estudos!

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