Question

Integral Tripla Rapidão

Answer 1

$\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\int\limits_{0}^{~4-x^{2}~}\int\limits_{0}^{x}{\dfrac{\mathrm{sen}(2z)}{4-z}\,dy\,dz\,dx}$


A primeira integral é $dy.$ Como a função integranda é constante em $y,$ temos

$=\displaystyle\int\limits_{0}^{2}\int\limits_{0}^{~4-x^{2}~}{\dfrac{\mathrm{sen}(2z)}{4-z}\cdot y|_{0}^{x}\,dz\,dx}\\ \\ \\ =\int\limits_{0}^{2}\int\limits_{0}^{~4-x^{2}~}{\dfrac{\mathrm{sen}(2z)}{4-z}\cdot (x-0)\,dz\,dx}\\ \\ \\ =\int\limits_{0}^{2}\int\limits_{0}^{~4-x^{2}~}{\dfrac{\mathrm{sen}(2z)}{4-z}\cdot x\,dz\,dx}~~~~~~~\mathbf{(i)}$


A próxima integral é $dz.$ Não sei encontrar esta primitiva, então vou fazer o seguinte. Vou trocar a ordem de integração. Ao invés de fazer $dz\,dx,$ vou fazer $dx\,dz.$


No plano $xz,$ a região de integração é descrita por

$\begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{l} 0\leq x\leq 2\\ \\ 0\leq z\leq 4-x^{2} \end{array} \right.&\Leftrightarrow&\left\{ \begin{array}{l} 0\leq z\leq 4\\ \\ 0\leq x\leq \sqrt{4-z} \end{array} \right. \end{array}$


Reescrevendo a integral iterada $\mathbf{(i)},$ com os novos limites de integração, temos

$=\displaystyle\int\limits_{0}^{4}\int\limits_{0}^{~\sqrt{4-z}~}{\dfrac{\mathrm{sen}(2z)}{4-z}\cdot x\,dx\,dz}\\ \\ \\ =\int\limits_{0}^{4}{\dfrac{\mathrm{sen}(2z)}{4-z}\cdot \left.\left(\dfrac{x^{2}}{2} \right )\right|_{0}^{\sqrt{4-z}}\,dz}\\ \\ \\ =\int\limits_{0}^{4}{\dfrac{\mathrm{sen}(2z)}{4-z}\cdot \left(\dfrac{(\sqrt{4-z})^{2}}{2}-\dfrac{0^{2}}{2}\right)\,dz}\\ \\ \\ =\int\limits_{0}^{4}{\dfrac{\mathrm{sen}(2z)}{4-z}\cdot \dfrac{4-z}{2}\,dz}\\ \\ \\ =\int\limits_{0}^{4}{\dfrac{1}{2}\,\mathrm{sen}(2z)\,dz}$

$=\dfrac{1}{4}\displaystyle\int\limits_{0}^{4}{4\cdot \dfrac{1}{2}\,\mathrm{sen}(2z)\,dz}\\ \\ \\ =\dfrac{1}{4}\int\limits_{0}^{4}{2\,\mathrm{sen}(2z)\,dz}\\ \\ \\ =\dfrac{1}{4}\int\limits_{0}^{4}{\mathrm{sen}(2z)\cdot 2\,dz}\\ \\ \\ =\left.-\dfrac{1}{4}\,\cos(2z)\right|_{0}^{4}\\ \\ \\ =-\dfrac{1}{4}\cdot (\cos (2\cdot 4)-\cos(2\cdot 0))$

$=-\dfrac{1}{4}\cdot (\cos 8-\cos 0)\\ \\ \\ =-\dfrac{1}{4}\cdot (\cos 8-1)\\ \\ \\ =-\dfrac{\cos 8-1}{4}\\ \\ \\ =\dfrac{1-\cos 8}{4}\\ \\ \\ \\ \Rightarrow~\boxed{\begin{array}{c} \displaystyle\int\limits_{0}^{2}\int\limits_{0}^{~4-x^{2}~}\int\limits_{0}^{x}{\dfrac{\mathrm{sen}(2z)}{4-z}\,dy\,dz\,dx}=\dfrac{1-\cos 8}{4} \end{array}}$