Question

analista do mercado imobiliário preveem que o valor v ( em reais ) de um imóvel localizado no litoral seja dado pela lei:
V (t) = 120, 000×0, 9t
Em que t é o número de décadas contadas a partir de hoje.
A) qual o valor atual desse imóvel?
B) qual é, em reais, a desvalorização desse imóvel da primeira para a segunda década?
C) daqui quanto tempo esse imóvel valerá R$ 80000 ( use as aproximações log 2 =0, 3 e log 3=0, 48).

Answer 1

Vamos lá.

Tem-se que a lei de valorização desse imóvel é esta:

V = 120.000*(0,9)^(t), em que "V" é o valor do imóvel e "t" é o número de décadas contadas a partir de hoje.

Agora vamos responder a cada uma das questões formuladas.

a) Qual o valor atual desse imóvel. Veja: para isso, deveremos fazer t = 0 (já que é o valor atual. Note que seria t = 1 se fosse  a 1ª década; seria t = 2 se fosse a 2ª década; e assim vai. Por isso, para o valor atual, faremos t = 0, certo?). Assim, ficaremos com:

V = 120.000*(0,9)⁰ ----- note que (0,9)⁰ = 1. Assim:
V = 120.000*1
V = 120.000,00 <--- Esta é a resposta para a questão do item "a".

b) Qual a desvalorização do imóvel da primeira (1) para a segunda (2) década?
Bem, então substituiremos "t" por "1" (1ª década) e depois substituiremos "t" por "2" (2ª década). Após isso, faremos a subtração de um resultado do outro. Assim, teremos:

b.i) Para a 1ª década, teremos (substitui-se "t" por "1"):

V = 120.000*(0,9)¹ ----- como (0,9)¹ = 0,9, ficaremos com:
V = 120.000*0,9
V = 108.000,00 <--- Este é o valor após a 1ª década.

b.ii) Para a 2ª década, teremos (substitui-se "t" poe "2"):

V = 120.000*(0,9)² ---- como (0,9)² = 0,81, teremos:
V = 120.000*0,81
V = 97.200,00 <--- Este é o valor após a 2ª década.

b.iii) Agora, para encontrar a desvalorização do imóvel da primeira para a segunda década, basta que façamos a devida subtração (ou seja, subtrairemos os R$ 97.200,00 (da 2ª década) dos R$ 108.000,00 (da 1ª década)). Assim:

108.000,00 - 97.200,00 = 10.800,00 <--- Esta é a resposta para a questão do item "b".

c) Daqui a quanto tempo esse imóvel valerá R$ 80.000,00 (use log2 = 0,30 e log3 = 0,48, se precisar).
Bem, para isso, então igualaremos "V" a R$ 80.000,00, ficando assim:

80.000 = 120.000*(0,9)^(t) ---- --- vamos aplicar logaritmo (base 10) a ambos os membros, ficando:

log₁₀ (80.000) = log₁₀ [120.000*(0,9)^(t)] ---- transformando o produto em soma (no 2º membro), teremos:

log₁₀ (80.000) = log₁₀ (120.000) + log₁₀ [(0,9^(t)] ---- isolando log₁₀ (0,9)^(t), teremos:

log₁₀ (80.000) - log₁₀ (120.000) = log₁₀ [(0,9)^(t)]

Veja que: 80.000 = 2⁷ * 5⁴ ; e 120.000 = 2⁶ * 3 * 5⁴ .
Assim, fazendo as devidas substituições, teremos:

log₁₀ (2⁷.5⁴) - log₁₀ (2⁶.3.5⁴) = log₁₀ (0,9)^(t) ---- no 1º membro, vamos transformar cada produto em soma, ficando assim:

log₁₀ (2⁷)+log₁₀ (5⁴) - [log₁₀ (2⁶)+log₁₀ (3)+log₁₀ (5⁴) = log₁₀ (0,9)^(t) --- passando cada expoente multiplicando, teremos:

7log₁₀ (2) + 4log₁₀ (5) - [6log₁₀ (2) + log₁₀ (3) + 4log₁₀ (5)] = t*log₁₀ (0,9) ---- retirando-se os colchetes, ficaremos da seguinte forma:

7log₁₀ (2) + 4log₁₀ (5) - 6log₁₀ (2) - log₁₀ (3) - 4log₁₀ (5) = t*log₁₀ (0,9) ---- reduzindo os termos semelhantes no 1º membro, ficaremos apenas com:

log₁₀ (2) - log₁₀ (3) = t*log₁₀ (0,9) ----- veja que 0,9 = 3*0,3. Assim:
log₁₀ (2) - log₁₀ (3) = t*log₁₀ (3*0,3) ---- transformando o produto em soma no 2º membro, teremos:

log₁₀ (2) - log₁₀ (3) = t*[log₁₀ (3) + log₁₀ (0,3)]

Agora vamos substituir log₁₀ (2) por "0,30" e log₁₀ (3) por "0,48", ficando:

0,30 - 0,48 = t*[0,48 + log₁₀ (0,3)]
- 0,18 = t*[0,48 + log₁₀ (0,3)].

Agora vamos calcular o valor de log₁₀ (0,3).
Veja: 0,3 = 3/10. Então, transformando a divisão em subtração, ficaríamos com: log(3) - log(10) = ----- fazendo as devidas substituições, teremos:
0,48 - 1 = - 0,52 <--- Este deverá ser o valor do log₁₀ (0,3).
Assim, fazendo as devidas substituições, teremos:

- 0,18 = t*[0,48 - 0,52]
- 0,18 = t*[- 0,04] ----- ou apenas:
- 0,18 = - 0,04t ----- multiplicando ambos os membros por "-1" e invertendo, teremos:

0,04t = 0,18
t = 0,18/0,04
t = 4,5 décadas (ou 4 décadas e meia, o que equivale a 4,5*10 = 45 anos).

Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.