Question

Considere o preenchimento do quadrado, de lados que medem 1m, sugerido pela sequência de figuras abaixo
A partir de qual n a diferença entre a área do quadrado pela área do preenchimento é inferior a 1,5625%?

Sugestão: Note que
$1.5625\% = 0.015625 = \frac{15625}{ {10}^{6} } = \frac{1}{ {2}^{6} }$
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Answer 1

Resposta:

A diferença entre as área do quadrado e a área preenchida será inferior a 1,5625% para n > 6.

Explicação passo a passo:

Observe que a partir das figuras obtemos a seguinte sequência numérica relacionada com a área preenchida em cada figura.

1ª Figura - A = 1/2

2ª Figura - A = 1/2 + 1/4

3ª Figura - A = 1/2 +1/4 +1/8

4ª Figura - A = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16

E assim sucessivamente.

Portanto, temos uma soma de PG (Progressão Geométrica) de primeiro termo igual a 1/2 e razão 1/2 para representar a área preenchida.

$A_p=\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)\cdot \left[\left(\dfrac{1}{2}\right)^n-1\right]}{\left(\dfrac{1}{2}\right)-1}\\\\A_p=1-\dfrac{1}{2^n}$

Aplicando a condição de que a diferença a área do quadrado e a área preenchida deve ser inferior a 1,5625% obtemos:

$A_q-A_p<0,015625\\\\1+\dfrac{1}{2^n}-1<\dfrac{1}{2^6}\\\\2^n>2^6\\\\n>6$

Logo, a partir de n = 6 a diferença entre as áreas será inferior a 1,5625%.