Question

alguém pode me ajudar por favor?

Answer 1

$I=\displaystyle\iiint_{V}{x^{2}yz\,dx\,dy\,dz}$

sendo $V$ o tetraedro dado por

$V=\left\{(x,\;y,\;z)\in \mathbb{R}^{3}\left|~0\leq x\leq 1;~0\leq y\leq 1-x;~0\leq z\leq 1-x-y\right.\}$


$\bullet\;\;x$ varia entre extremos fixos:

$0\leq x\leq 1.$


$\bullet\;\;y$ varia entre duas funções de $x:$

(entre o eixo $x$ e a reta $y=1-x$)

$0\leq y\leq 1-x$


$\bullet\;\;z$ varia entre duas funções de $x$ e $y:$

(entre o plano $xy$ e o plano $z=1-x-y$)

$0\leq z\leq 1-x-y.$
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Da forma como o sólido foi descrito acima, a ordem de integração será $dz\,dy\,dx.$ Escrevendo as integrais iteradas, temos

$I=\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{\;1-x\;}\int\limits_{0}^{\;1-x-y}{x^{2}yz\,dz\,dy\,dx}\\ \\ \\ =\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{\;1-x}{x^{2}y\cdot \left.\left(\dfrac{z^{2}}{2} \right )\right|_{0}^{1-x-y}\,dy\,dx}\\ \\ \\ =\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{\;1-x}{x^{2}y\cdot \dfrac{(1-x-y)^{2}}{2}\,dy\,dx}\\ \\ \\ =\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{\;1-x}{x^{2}\cdot y[(1-x)-y]^{2}\,dy\,dx}$


Fazendo a substituição $1-x=t$ (observe que $t$ não depende de $y$), a integral acima fica

$=\displaystyle\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{t}{x^{2}\cdot y\,(t-y)^{2}\,dy\,dx}~~~~~~\mathbf{(i)}$
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Vamos calcular seguinte integral:

$I_{1}=\displaystyle\int\limits_{0}^{t}{y\,(t-y)^{2}\,dy}~~~~~~\mathbf{(ii)}$


Fazendo a seguinte mudança de variável, temos

$t-y=u~\Rightarrow~-dy=du~\Rightarrow~\left\{ \begin{array}{l} dy=-du\\\ y=t-u \end{array} \right.$


Mudando os limites de integração:

$\text{Quando }y=0~\Rightarrow~u=t\\ \\ \text{Quando }y=t~\Rightarrow~u=0$


Substituindo em $\mathbf{(ii)}$ a integral fica

$I_{1}=\displaystyle\int\limits_{t}^{0}{(t-u)\,u^{2}\cdot (-1)\,du}\\ \\ \\ =\int\limits_{t}^{0}{(u-t)\,u^{2}\,du}\\ \\ \\ =\int\limits_{t}^{0}{(u^{3}-tu^{2})\,du}\\ \\ \\ =\int\limits_{t}^{0}{(u^{3}-tu^{2})\,du}\\ \\ \\ =\left.\left(\dfrac{u^{4}}{4}-\dfrac{tu^{3}}{3} \right )\right|_{t}^{0}\\ \\ \\ =-\left(\dfrac{t^{4}}{4}-\dfrac{t\cdot t^{3}}{3} \right )$

$=-\left(\dfrac{t^{4}}{4}-\dfrac{t^{4}}{3} \right )\\ \\ \\ =-\dfrac{t^{4}}{4}+\dfrac{t^{4}}{3}\\ \\ \\ =-\dfrac{3t^{4}}{12}+\dfrac{4t^{4}}{12}\\ \\ \\ =-\dfrac{3t^{4}+4t^{4}}{12}\\ \\ \\ =\dfrac{t^{4}}{12}\\ \\ \\ =\dfrac{(1-x)^{4}}{12}$
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Substituindo de volta em $\mathbf{(i)},$ a integral fica

$I=\displaystyle\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{x^{2}\cdot \dfrac{(1-x)^{4}}{12}\,dx}\\ \\ \\ =\frac{1}{24}\int\limits_{0}^{1}{x^{2}\,(1-x)^{4}\,dx}~~~~~~\mathbf{(iii)}$


Fazendo a substituição

$1-x=t~\Rightarrow~-dx=dt~\Rightarrow~\left\{ \begin{array}{l} dx=-dt\\ x=1-t \end{array} \right.\\ \\ \\ \text{Quando }x=0~\Rightarrow~t=1\\ \\ \text{Quando }x=1~\Rightarrow~t=0$


Substituindo em $\mathbf{(iii)},$ a integral fica

$I=\displaystyle\frac{1}{24}\int\limits_{1}^{0}{(1-t)^{2}\,t^{4}\cdot (-1)\,dt}\\ \\ \\ =-\frac{1}{24}\int\limits_{1}^{0}{(1-t)^{2}\,t^{4}\,dt}\\ \\ \\ =-\frac{1}{24}\int\limits_{1}^{0}{(1-2t+t^{2})\,t^{4}\,dt}\\ \\ \\ =-\frac{1}{24}\int\limits_{1}^{0}{(t^{4}-2t^{5}+t^{6})\,dt}\\ \\ \\ =-\frac{1}{24}\cdot \left.\left(\dfrac{t^{5}}{5}-\dfrac{t^{6}}{3}+\dfrac{t^{7}}{7} \right )\right|_{1}^{0}$

$=-\dfrac{1}{24}\cdot \left[-\left(\dfrac{1^{5}}{5}-\dfrac{1^{6}}{3}+\dfrac{1^{7}}{7} \right ) \right ]\\ \\ \\ =\dfrac{1}{24}\cdot \left(\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{7} \right )\\ \\ \\ =\dfrac{1}{24}\cdot \left(\dfrac{21}{105}-\dfrac{35}{105}+\dfrac{15}{105} \right )\\ \\ \\ =\dfrac{1}{24}\cdot \dfrac{21-35+15}{105}\\ \\ \\ =\dfrac{1}{24}\cdot \dfrac{1}{105}\\ \\ \\ =\dfrac{1}{2\,520}$

$\therefore~\boxed{\begin{array}{c}\displaystyle\iiint_{V}{x^{2}yz\,dx\,dy\,dz}=\dfrac{1}{2\,520} \end{array}}$