Question

a) De quantas maneiras podemos pintar tres objetos idênticos tendo disponível 5 cores e não utilizando uma cor mais de vez?

b) De quantas maneiras podemos pintar tres objetos diferentes tendo disponível 5 cores utilizando cada cor no máximo uma vez ?

Responder com cálculos!!

Answer 1

Resposta:

a) Podemos pintar os três objetos idênticos de 10 maneiras distintas.

b) Podemos pintar os três objetos diferentes de 60 maneiras distintas.

Explicação passo a passo:

Para responder a essa questão serão necessários as seguintes técnicas de contagem:

Combinações simples: São agrupamentos de p elementos escolhidos em um conjunto com n elementos, onde consideramos a natureza dos elementos.

$C_{n,p}=\dfrac{n!}{p!\cdot (n-p)!}$

Arranjos simples: São agrupamentos ordenados de p elementos escolhidos num conjunto com n elementos.

$A_{n,p}=\dfrac{n!}{(n-p)!}$

Importante: Os problemas envolvendo arranjos simples podem ser resolvidos utilizando apenas o Princípio Fundamental da Contagem - PFC.

a) Observe que os objetos são idênticos, ou seja, devemos considerar apenas as cores (natureza dos elementos). Assim, temos que escolher três cores de um conjunto com cinco cores.

$C_{5,3}=\dfrac{5!}{3!\cdot 2!}=\dfrac{5\cdot 4\cdot 3!}{3!\cdot 2!}=10$

b) Neste item observe que os objetos são diferentes, isto é, devemos relacionar a cor com o objeto, dessa forma temos agrupamentos ordenados.

Para o objeto 1 temos 5 possibilidades de cores

Para o objeto 2 temos 4 possibilidades de cores, visto que não podemos repetir cores.

Por fim o objeto 3 tem 3 possibilidades de cores.

Pelo PFC temos:

$5\cdot 4\cdot 3=60$