Question

Encontre um valor para a constante k que faça com que o limite exista .

a) lim x--> 4 x²- k²/x-4

b)lim x--> -2 x²+4x+k/x+2

c)lim x--> 1 x²- kx+4/x-1

Answer 1

diferença dos quadrados 
a²-b² = (a-b)(a+b)

$\lim_{x \to4} \frac{x^2-k^2}{(x-4)} = \lim_{x \to4} \frac{(x-k)*(x+k)}{(x-4)}$
veja que quando k=4 , o limite existe , porque ai vc simplificaria com o denominador tendo:
$\lim_{x \to4} \frac{(x-4)*(x+4)}{(x-4)} = \lim_{x \to4} (x+4)=8$

b)
$\lim_{x \to -2} \frac{x^2+4x+k}{x+2}$

completando o quadrado no numerador
para ter (a+b)² = a²+2ab+b²
temos x²+2.2.x+k
para isso teremos que ter k=2² =4
assim o numerador ficar(x+2)² e da pra simplificar com o denominador

$\lim_{x \to -2} \frac{x^2+2*2x+2^2}{x+2} = \lim_{x \to -2} \frac{(x+2)^2}{(x+2)} = \lim_{x \to -2} (x+2)= 0$


c)
 $\lim_{x \to 1} \;\frac{x^2-kx+4}{(x-1)}$

agora temos que dar um jeito de escrever x²-kx+4 usando (x-1)
para simplificar com o denominador
como isso é uma equação do segundo grau
e uma de suas raízes terá que ser 1

raízes 
r' = 1 , r'' encontrando a segunda raíz usando soma e produto

$x^2-kx+4\\\\A=1\\B=-k\\C=4$

o produto das raízes é c/a

$r'*r'' = \frac{C}{A} \\\\1*r'' = \frac{4}{1} \\\\r'' =4$

a soma das raízes é -b/a
$r'+r'' = -\frac{B}{A} \\\\1+4=- \frac{-K}{1} \\\\\boxed{5=K}$

a equaçao do segundo grau na forma fatorada pode ser escrita como
$A*(x-r')*(x-r'') \\\\ entao\\\\x^2-kx+4=x^2-5x+4= (x-1)*(x-4)$

resolvendo o limite
$\lim_{x \to 1} \frac{ (x-1)*(x-4)}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x-4)=-3$