Question

o vetor projeção de v =(2,3) sobre u=(3,4) é igual a?
a) (54/25,72/25)
b)(52/25,7/25)
c) (1/5,2/5)
d) (3,4)
e) (5,8)
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Answer 1

O vetor projeção de $v=(2, 3)$ sobre $u=(3, 4)$ é

$\Large\text{proj}_{u}v=\left(\dfrac{54}{25},\,\dfrac{72}{25}\right),$

que é a resposta contida na alternativa a.

Explicação

Para resolver esta questão, é necessário saber que o vetor projeção de um vetor v sobre um vetor u não nulo é dado por:

$\Large\text{proj}_{u}v=\dfrac{\langle v, u\rangle}{\langle u, u\rangle}\cdot u,$

em que $\langle v,\,u\rangle$ representa o produto interno usual entre u e v.

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Lembrete: Dados os vetores $v=(x_1,\,y_1)$ e $u=(x_2,\,y_2),$ o produto interno usual é dado por:

$\Large\langle v, u\rangle=x_1\cdot x_2+y_1\cdot y_2.$

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Desse modo, dados os vetores $v=(2, 3)$ e $u=(3, 4),$ o vetor projeção de v sobre u é:

$\Large\begin{aligned}\text{proj}_{u}v&=\dfrac{\langle u, v\rangle}{\langle u, u\rangle}\cdot u\\\\&=\dfrac{2\cdot3+3\cdot4}{3^2+4^2}\cdot (3,4)\\\\&=\dfrac{6+12}{9+16}\cdot(3,4)\\\\&=\dfrac{18}{25}\cdot(3,4)\\\\&=\left(\dfrac{18\cdot3}{25},\dfrac{18\cdot4}{25}\right)\\\\&=\left(\dfrac{54}{25},\,\dfrac{72}{25}\right).\end{aligned}$

Portanto,

$\Large\boxed{\boxed{\text{proj}_{u}v=\left(\dfrac{54}{25},\,\dfrac{72}{25}\right).}}$

Resposta: alternativa a.

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