Question

(40 PONTOS) Sobre gráficos de funções reais e simetrias:
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Considere uma função $f:D_{f}\to\mathbb{R},$

com $D_{f}\subset(-\infty,\;x_{0}],$ para algum $x_{0} \in \mathbb{R}.$

(isto significa que o gráfico de $f$ está localizado no semiplano esquerdo determinado pela reta $x=x_{0}$ )

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Considere também outra função $g:D_{g}\to \mathbb{R},$ de tal forma que

$\bullet~~\forall~\delta\geq 0\,;~~x_{0}-\delta\in D_{g}~\Leftrightarrow~x_{0}+\delta\in D_{g}\\ \\ \bullet~~\forall~x\in D_{g}\,;~~\left\{ \begin{array}{l} x_{0}-\left|x-x_{0}\right|\in D_{f}\\ \\ g(x)=f(x_{0}-\left|x-x_{0}\right|) \end{array} \right.$

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Nestas condições, mostre que o gráfico de $g$ é simétrico em relação à reta de equação $x=x_{0}.$
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Answer 1

Se $D_{g}\neq\lbrace\rbrace$, então, para todo $x\in D_{g}$, existe apenas um δ real (não necessariamente não-negativo, já mostro o motivo) tal que $x=x_{0}-\delta$

Da hipótese (i) sobre o domínio de G, tiramos que $x=x_{0}+\delta\in D_{g}$

Da hipótese (ii) sobre o domínio de G, temos que
$x=x_{0}-|x_{0}-\delta-x_{0}|,~x=x_{0}+\delta\in D_{f}$, então $f(x_{0}-|x_{0}-\delta-x_{0}|),~f(x_{0}-|x_{0}+\delta-x_{0}|)$ estão bem definidas

Daí,

$g(x_{0}-\delta)=f(x_{0}-|x_{0}-\delta-x_{0}|)=f(x_{0}-|-\delta|)=f(x_{0}-|-1||\delta|)=f(x_{0}-|\delta|)$

e

$g(x_{0}+\delta)=f(x_{0}-|x_{0}+\delta-x_{0}|)=f(x_{0}-|\delta|)$

Como $g(x_{0}-\delta)=g(x_{0}+\delta)$, temos uma simetria no gráfico de g em relação a $x=x_{0}$