Question

Determine os números complexos z tais que z-1/z+1 é real.

Answer 1

Resposta:

O único valor de z tal que a expressão é real é z = 1.

Explicação passo a passo:

A divisão de números complexos na forma algébrica é realizada de modo semelhante ao processo de racionalização de denominadores. Onde multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador.

$\dfrac{z}{w}=\dfrac{z\cdot \bar{w}}{w\cdot \bar{w}}$

Dessa forma considerando z = x + yi e assumindo a equação (z-1)/(z+1) obtemos a seguinte divisão:

$\dfrac{x+yi-1}{x+yi+1}=\dfrac{(x-1)+yi}{(x+1)+yi}$

Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador temos:

$\dfrac{[(x-1)+yi]\cdot [(x+1)-yi]}{[(x+1)+yi]\cdot [(x+1)-yi]}=\dfrac{(x^2-1)-(x-1)yi+(x+1)yi+y^2}{(x+1)^2+y^2}$

Como o enunciado pede que o resultado seja real. Devemos igualar a parte imaginária a zero.

$\dfrac{(1-x)y+(1+x)y}{(x+1)^2+y^2}=0\\\\y(1-x^2)=0\\\\y=0 \ ou \ x=\pm 1$

Mas como x = - 1 não convém temos que z = 1.