Question

(Vunesp) sendo i a unidade imaginária, o valor de (1+i:/1-i)^4 é


a)-1
b)-i
c)2i
d)i
e)1 <-

Answer 1

Abrindo as expressoes temos:
$(i+1)^{4}$ = $i^{4}$ + 4i³ + 6i² + 4i + 1

$(1-i)^{4}=$ $-i^{4}$ + 4(-i)³ + 6(-i)² + 4(-i) + 1

Sabendo que:
$i^{4}$ = 1                      $-i^{4}$ = -1
i³ = -i                                          (-i)³ = i
i² = -1                                         (-i)² = -1

Substituindo temos:
 1 + 4i -6i + 4i + 1     
 1 + 4i -6i +4i + 1 

Assim a resposta é 1 e)

Answer 2

A expressão [(1+i)/(1-i)]⁴ é igual a -1.

Os números complexos em sua forma algébrica são escritos da forma z = a + bi, onde i é a unidade imaginária (i² = -1). Podemos reescrever a expressão expandindo os monômios:

(1 + i)⁴ = (1 + i)²(1 + i)²

(1 + i)⁴ = (1 + 2i + i²)(1 + 2i + i²)

(1 + i)⁴ = 1 + 2i + i² + 2i + 4i² + 2i³ + i² + 2i³ + i⁴

(1 + i)⁴ = i⁴ + 4i³ + 6i² + 4i + 1

Da mesma forma, para o denominador:

(1 - i)⁴ = (1 - i)²(1 - i)²

(1 - i)⁴ = (1 - 2i + i²)(1 - 2i + i²)

(1 - i)⁴ = 1 - 2i + i² - 2i - 4i² - 2i³ + i² - 2i³ + i⁴

(1 - i)⁴ = i⁴ - 4i³ - 2i² - 4i + 1

As potências da unidade complexa são:

i⁰ = 1

i¹ = i

i² = -1

i³ = -i

i⁴ = 1

Logo, temos:

[(1+i)/(1-i)]⁴ = (i⁴ + 4i³ + 6i² + 4i + 1)/(i⁴ - 4i³ - 2i² - 4i + 1)

[(1+i)/(1-i)]⁴ = (1 + -4i - 6 + 4i + 1)/(1 + 4i + 2 - 4i + 1)

[(1+i)/(1-i)]⁴ = -4/4

[(1+i)/(1-i)]⁴ = -1

Resposta: A

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