Dados os intervalos A=[4,12], B=]9,19[, C=]0,8] e D]=-∞,14], determine:
a)AUB
b)A∩B
c)B-D
d)D-B
e)AUBUC
f)A∩B∩C
Respostas
O resultado das operações com os referidos intervalos é: a) AUB = [4, 19[, b) A∩B = ]9, 12], c) B – D = ]14, 19], d) ]– ∞, 9], e) AUBUC = ]0, 19[ e f) A∩B∩C = ∅.
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Temos os intervalos:
A = [4, 12], B = ]9, 19[, C = ]0, 8] e D = ]– ∞, 14]
Quando o colchete está fechado num elemento, este está sendo incluído dentro do intervalo (ex.: [x , y] → x e y pertencem ao intervalo), mas quando o colchete está aberto num elemento, este não está sendo incluído (ex.: ]x , y[ → x e y não pertencem ao intervalo).
Podemos representar estes intervalos por desigualdades, em forma de conjuntos. Considerando ''x'' os elementos reais pertencentes a eles, veja que os intervalos A, B e C são o mesmo que:
A = {4 ≤ x ≤ 12}, B = {9 < x < 19}, C = {0 < x ≤ 8} e D = {x < 14}
Sendo assim, colocá-lo-eis em retas reais (veja em anexo) para melhor visualizá-las e, assim, determinar as operações indicadas. Obs.: quando o elemento está incluso colocamos uma bolinha pintada (preta) e quando o elemento não está incluído colocamos uma bolinha não pintada (branca).
Considerações pré-resolução
De modo a resumir um pouco sobre operações de cada item:
''U'' : representa a união, sendo a junção de todos os elementos, sem repetição, dos intervalos indicados;
''∩'' : representa a intersecção, sendo a junção somente dos elementos que são comuns entre os intervalos indicados;
''Um intervalo – (menos) outro intervalo'' : representa a diferença de intervalos, sendo os elementos do primeiro menos os elementos do segundo.
Resolução
(Não esqueça de ver os anexos.)
a) AUB
A união entre A e B é: AUB = [4, 19[, pois unindo seus elementos encontra-se este intervalo.
b) A∩B
A intersecção entre A e B é: A∩B = ]9, 12], pois juntamos só os elementos que pertencem em A e B ao mesmo tempo.
c) B – D
A diferença entre os elementos de B e D é: B – D = ]14, 19], pois excluímos os elementos de D no B.
d) D – B
A diferença entre os elementos de D e B é: D – B = ]– ∞, 9], pois excluímos os elementos de B no D.
e) AUBUC
A união entre A, B e C é: AUBUC = ]0, 19[, pois a junção de seus elementos forma este intervalo.
f) A∩B∩C
A intersecção entre A, B e C é: A∩B∩C = ∅. Esta intersecção é vazia pois, como você pode ver nas retas, B não possui elementos em comum com A e C, por isso a intersecção entre estes três intervalos não é definida.
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Bons estudos e um forte abraço. — lordCzarnian9635.
