Question

Como resolver o limite em anexo?
OBS: o denominador está em módulo.

obrigado!
​

Answer 1

Temos o seguinte limite:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bullet \: \: \: \sf \lim_{x \to3} \frac{(x - 3) {}^{3} }{ |3 - x| } \: \: \bullet$

Para iniciar a resolução, devemos primeiro lembrar a definição de módulo:

$\sf|x| = \begin{cases} \sf x, \: se \: x \geqslant 0 \\ \sf - x, \: se \: x < 0\end{cases}$

Aplicando essa definição na expressão do numerador, temos que:

$\sf |3 - x| = \begin{cases} \sf 3 - x , \: se \: x \geqslant 3 \\ \sf - (3 - x), \: se \: x < 3\end{cases}$

Ou seja, vamos trabalhar com os limites laterais.

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \sf \lim_{x\to a^+} f(x) =\lim_{x\to a^ - } f(x)$

Substituindo nossas informações:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \sf \lim_{x\to 3^+} f(x) =\lim_{x\to 3^ - } f(x)$

Quando x tende a 3 pela direita, quer dizer então que x se aproxima de 3 por valores maiores que ele, ou seja, deve-se utilizar a relação correspondente a x ≥ 3, assim como quando x tende a 3 pela esquerda, utiliza-se a expressão quando x < 3. Substituindo os dados:

$\sf \lim_{x\to 3^+} \frac{( x - 3) {}^{3} }{3 - x} = \lim_{x\to 3^ - } \frac{(x - 3) {}^{3} }{ x - 3} \\ \\ \sf \lim_{x\to 3^+} \frac{( x - 3).(x - 3).(x - 3) }{3 - x} = \lim_{x\to 3^ - } \frac{(x - 3) {}^{3} }{ x - 3} \\ \\ \sf \lim_{x\to 3^+} \frac{ - 1.(3 - x).(x - 3).(x - 3)}{3 - x} = \lim_{x\to 3^ - } (x - 3) {}^{2} \\ \\ \sf \lim_{x\to 3^+} - 1.(x - 3).(x - 3) = \lim_{x\to 3^ - } (x - 3) {}^{2} \\ \\ \sf \lim_{x\to 3^+} - (x - 3) {}^{2} = \lim_{x\to 3^ - } (x - 3) {}^{2}$

Substituindo o valor a qual o x tende:

$\sf \lim_{x\to 3^+} -(3 - 3) {}^{2} = \lim_{x\to 3^ - } (3 - 3) {}^{2} \\ \\ \boxed{\sf 0 = 0}$

Ou seja, podemos dizer que o limite bilateral da função quando x tende a 3, resulta em 0.

$\boxed{ \sf \lim_{x\to 3} \frac{(x - 3) {}^{3} }{ |3 - x| } = 0}$

Espero ter ajudado