Question

O valor de tg(x) no triângulo representado na figura abaixo é:

Answer 1

Para resolver essa questão, devemos primeiro lembrar da expressão característica da tangente, pois vamos usá-la na maior parte do cálculo:

$\: \: \bullet \: \: \: \: \sf tg( \theta) = \frac{cateto \: oposto}{cateto \: adjacente}$

Primeiro vamos calcular a tangente do ângulo logo abaixo do ângulo "x", na qual chamaremos de ângulo z. O cateto oposto ao ângulo z como é mostrado na figura anexada, mede 4 e o cateto adjacente mede 10. Substituindo na relação:

$\sf tg(z) = \frac{4}{10} \: \to \: tg(z) = 0,4$

Para descobrir o ângulo referente a esse valor de tangente, vamos utilizar a operação inversa:

$\sf z = arctg(0,4) \: \to \: z = 21,80°$

Portanto já sabemos a medida do ângulo z. Juntando o ângulo z com o ângulo x, temos um ângulo maior que possui uma medida de z + x, para descobrir a medida de x, vamos utilizar a tangente da soma desses ângulos. Esse ângulo z + x é referente ao triângulo retângulo maior, que possui o cateto adjacente e oposto iguais a 10. Substituindo essas informações na relação:

$\sf tg( x + z) = \frac{10}{10} \: \: \to \: \: tg(x + z) = 1$

Pela trigonometria, sabemos que a fórmula da adição de arcos para a tangente é dada por:

$\sf tg(x + y) = \frac{tg(x) + tg(y)}{1 - tg(x).tg(y)}$

Substituindo essa informação:

$\sf \frac{tg(x) + tg(z)}{1 - tg(x).tg(z)} = 1 \: \to \: \: tg(x) + tg(z) = 1 - tg(x).tg(z) \\ \\ \sf tg(x) + tg(x).tg(z) = 1 - tg(z) \: \: \to \: \: tg(x) \: . \: [1 + tg(z)] = 1 - tg(z) \\ \\ \boxed{ \sf tg(x) = \frac{1 - tg(z)}{1 + tg(z)} }$Como sabemos o valor de z, então vamos substituir no devido local:

$\sf tg(x) = \frac{1 - tg(21,80°)}{1 + tg( 21,80°)} \: \: \to \: \: \boxed{ \boxed{ \boxed{ \sf tg(x) = 0,4}}}$

Espero ter ajudado