Question

Deduza a fórmula de volume de uma esfera, rotacionando a regiao limitada pela curva x²+y²=r² e pelo eixo x em torno do eixo x.

Answer 1

Resposta:

V= $\frac{4}{3}$$\pi$$r^{3}$

Explicação passo a passo:

Passo 1

Vamos entender a região delimitada e depois usar a fórmula do volume aplicado pra esfera .

Passo 2

Vamos pegar a porção delimitada por $x^{2}$ + $y^{2}$ = $r^{2}$ no primeiro quadrante e girar em torno do eixo $x$, concorda que o volume da esfera será o dobro da figura que geramos com esse giro? Esse vai ser o raciocínio.

Agora vamos usar um elemento de volume , que será um disco circular dessa esfera centrado no eixo $x$, onde $x$ vai de 0 até $r$. o raio do disco será dado ao isolarmos $y$ da equação da circunferência , porque giramos em tomo de $x$.

Raio do disco : $\sqrt{r^2 - w_{i^2}$, onde $w_{i}$ , é uma porção infinitesimal que corresponde a $x$.