Considere a circunferência C de equação 3x²+3y²-6x+12y+14=0 e centro E, a reta r de equação y=ax+1, sendo a € aos Reais, e dois pontos A, B € r tais que a medida do segmento de reta AB seja igual a 2.
1. Determine o centro E e o raio da circunferência C.
2. Encontre os valores de a para os quais a área do triângulo ABE é igual a √5.
Respostas
Resposta:
As soluções são:
1. O centro da circunferência tem coordenadas (1,-2) e raio medindo √3/3 u.c. (unidades de comprimento).
2. Os possíveis valores de "a" para que a área do triângulo ABE seja igual a √5 são a = -1/2 e a = 2.
Explicação passo a passo:
Para responder a essa questão vamos aplicar alguns conceitos de geometria analítica.
Equação reduzida da circunferência
(x - x₀)² + (y - y₀)² = r²
Centro C = (x₀ , y₀) e raio r
Distância de um ponto a reta
1. Dada a equação 3x² + 3y² - 6x + 12y + 14 = 0 para passar a equação da forma geral para a forma reduzida utilizamos o método de completar quadrados.
3(x² - 2x + ... ) + 3(y² + 4y + ... ) = - 14
3(x² - 2x + 1) + 3(y² + 4y + 4) = - 14 + 3 + 12
(x - 1)² + (y + 2)² = 1/3
Centro E = (1, -2) e raio r = √3/3
2.Como o segmento AB está contido na reta y = ax + 1 e AB = 2, já temos a base do triângulo ABE.
Para determinar a altura do triângulo basta calcularmos a distância do ponto E até a reta r.
Substituindo as coordenadas do ponto E: