os pontos M,N,P e Q do R² sao os vertices de um paralelograma situado no primeiro quadrante. se M=(3,5), N=(1,2) e P=(5,1) entao o vertice Q é:
Respostas
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36
Se traçarmos o gráfico, teremos um triângulo, que é uma metade do paralelogramo. Por meio dele conseguimos encontrar o ponto Q, fazendo simetria com algum ponto. Sabemos que o ponto que nos dará o simétrico é o ponto N.
Resolução:
Ponto médio de MP:
e
O ponto médio de MP é A(4,3).
Afim de verificar se realmente encontramos o valor certo para o simétrico, vamos achar a equação da reta suporte que passa por N, A e Q. Para isso, usamos os pontos N e A.
Declividade da reta:
A equação da reta r, achamos considerando o ponto N(1,2):
O ponto Q, simétrico de N, encontramos calculando o ponto médio de NQ:
Assim, temos Q(7,4).
Para conferir, substituimos Q em r = -x + 3y - 5
-7 + 3·4 - 5 = 0
Logo, o ponto procurado de fato é Q(7,4).
Resolução:
Ponto médio de MP:
e
O ponto médio de MP é A(4,3).
Afim de verificar se realmente encontramos o valor certo para o simétrico, vamos achar a equação da reta suporte que passa por N, A e Q. Para isso, usamos os pontos N e A.
Declividade da reta:
A equação da reta r, achamos considerando o ponto N(1,2):
O ponto Q, simétrico de N, encontramos calculando o ponto médio de NQ:
Assim, temos Q(7,4).
Para conferir, substituimos Q em r = -x + 3y - 5
-7 + 3·4 - 5 = 0
Logo, o ponto procurado de fato é Q(7,4).
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22
O vértice Q é (7,4).
Para determinarmos o vértice Q do paralelogramo MNPQ, vamos utilizar a propriedade que diz que as diagonais do paralelogramo cortam-se ao meio.
Ao marcarmos os pontos M = (3,5), N = (1,2) e P = (5,1) no plano cartesiano, podemos observar que as diagonais serão os segmentos MP e NQ.
Vamos considerar que Q = (x,y) e que O é o ponto médio das diagonais.
Assim,
2O = M + P
2O = (3,5) + (5,1)
2O = (3 + 5, 5 + 1)
2O = (8,6)
O = (4,3).
Sendo O = (4,3) o ponto médio das diagonais, então:
2(4,3) = N + Q
(8,6) = (1,2) + (x,y)
(8,6) = (x + 1, y + 2).
Igualando as coordenadas:
x + 1 = 8
x = 7
e
y + 2 = 6
y = 4.
Portanto, o vértice Q é igual a Q = (7,4).
Para mais informações sobre paralelogramo, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/19229306
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