Question

Como fatorar o polinômio:

x³ - 2x + 1

Com etapas, por favor​

Answer 1

Resposta:Olá, (x-1) (x+2) (x-3)

Você pode utilizar o algoritmo de Briot-Ruffini. Seguindo as etapas dele, você obterá as seguintes raízes: -1, -3 e 2. Ou por divisão de polinômios:

=

=

Assim, a nossa decomposição ficará:

(x - 1) (x +2) (x - 3)

Abaixo, eu deixo o esquema do algoritmo de Briot-Ruffini.

Explicação passo a passo:

Answer 2

A forma fatorada do polinômio é

     $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}x^3 - 2x + 1 = \left(x-1\right)\left(x -\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)\left(x +\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)\end{gathered} }$

Uma maneira rápida de fatorar esse polinômio exige um pouquinho de intuição, neste caso é para visualizar que 1 é uma raiz do polinômio, com isso o teorema de D'Alembert nos garante que o polinômio é divisível por (x-1), realizando a divisão de polinômios (vide anexo) obtemos que

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered}x^3 - 2x + 1 = \left(x-1\right)\left(x^2+x-1\right)\end{gathered}$

Agora note que temos um polinômio de segundo grau, agora podemos calcular suas raízes e fatorar, neste caso as raízes serão

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\begin{cases}x_1 =\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} &\Rightarrow x_1 = \frac{\sqrt{5}-1}{2}\\ \\x_2 =\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} &\Rightarrow x_2 = -\frac{\sqrt{5}+1}{2}\end{cases}\end{gathered} }$

Atenção ao sinal de menos na frente do x₂.

Portanto a forma fatorada é

       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}x^3 - 2x + 1 = \left(x-1\right)\left(x -\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)\left(x +\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)\end{gathered} }$

Espero ter ajudado

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