Question

T(x,y)=(x,3x+2y)

Quais os autovalores relacionados a essa transformação?

Answer 1

Os autovalores da transformação são

                                             $\Large\displaystyle\begin{gathered}\lambda_1 = 1\quad \text{e}\quad \lambda_2 = 2\end{gathered}$

Antes de calcular os autovalores em si precisamos escrever a transformação linear na forma matricial, i.e. aplicar a transformação linear na base canônica, note que essa transformação ocorre em espaços vetoriais de mesma dimensão, logo também podemos chamar de operador linear.

                                        $\Large\displaystyle\begin{gathered}T:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \\(x,y) \mapsto (x, 3x + 2y)\end{gathered}$

Aplicando a transformação na base canônicas de $\mathbb{R}^2$

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\begin{cases}T(1,0) = (1, 3)\\ T(0,1) = (0, 2)\end{cases}\end{gathered}$

Agora podemos escrever a matriz que representa essa transformação linear colocando os vetores nas colunas da matriz

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered}T(x,y) = \left[\begin{array}{c c}1 & 0 \\3 & 2 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right]\end{gathered}$

Vamos considerar apenas os coeficientes da matriz da transformação, que é

                                            $\Large\displaystyle\begin{gathered}T = \left[\begin{array}{c c}1 & 0 \\3 & 2 \end{array}\right]\end{gathered}$

Agora sabemos que os autovalores de uma matriz são as raízes do polinômio característico, onde o polinômio é denotado por

                                       $\Large\displaystyle\begin{gathered}p_A\left(\lambda\right) = \det\left(\lambda I - A\right)\end{gathered}$

Logo os autovalores são os λₙ que satisfazem

                                                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}p_A\left(\lambda_n\right) = 0\end{gathered}$

Portanto aplicando a definição na nossa matriz T vamos obter

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered}p_{\,T}\left(\lambda\right) = \det\left[\begin{array}{c c}\lambda - 1 & 0 \\3 & \lambda - 2\end{array}\right]\end{gathered}$

Ou seja nosso determinante se resume a

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered}p_{\,T}\left(\lambda\right) = \left(\lambda - 1\right)\left(\lambda - 2\right)\end{gathered}$

Já inclusive obtemos ele na forma fatora e é imediato que suas raízes são 1 e 2, logo os autovalores são 1 e 2.

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\begin{cases}\lambda_1 = 1\\\lambda_2 = 2\end{cases}\end{gathered}$

Espero ter ajudado

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brainly.com.br/tarefa/40308453

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Answer 2

• Os autovalores relacionados a essa transformação são o conjunto solução S = { ( 1 , 2 ) } .

A única forma seria pegarmos as coordenadas T(x,y) = (x,3x+2y) e criarmos a matriz. Uma forma fácil seria pegarmos a primeira coordenada e comparar com T(x,y). Se não tiver x e se não tiver y colocamos igual a 0.

$\Large\displaystyle\begin{aligned} T(x,y)=\left[\begin{array}{ccc}x&0\\3x&2y\end{array}\right] \end{aligned}$

Agora iremos criar uma matriz só com os coeficientes. Sendo que a diagonal principal dessa matriz será os coeficientes menos lambda, após isso devemos igualar a zero. Ficando então:

$\Large\displaystyle\begin{aligned} T(x,y)=\left[\begin{array}{ccc}1&0\\3&2\end{array}\right] \end{aligned}$

$\Large\displaystyle\begin{aligned} T(x,y)=\left[\begin{array}{ccc}1-\lambda&0\\3&2-\lambda\end{array}\right] \end{aligned}$

$\Large\displaystyle\begin{aligned} \left[\begin{array}{ccc}1-\lambda&0\\3&2-\lambda\end{array}\right] =0 \end{aligned}$

Agora basta calcularmos normalmente. Multiplicando os elementos da diagonal principal e substraindo pela multiplicação dos elementos da diagonal secundária.

$\Large\displaystyle\begin{aligned} (1-\lambda) \cdot ( 2-\lambda ) - \left[ (3)\cdot (0)\right] =0\end{aligned}$

$\Large\displaystyle\begin{aligned} 2-\lambda -2\lambda + \lambda^2- 0 =0\end{aligned}$

$\Large\displaystyle\begin{aligned} 2 -3\lambda + \lambda^2 =0\end{aligned}$

$\Large\displaystyle\begin{aligned} \lambda^2-3\lambda +2 =0\end{aligned}$

$\Large\displaystyle\text{ \begin{aligned} \lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \end{aligned} }$

$\Large\displaystyle\text{ \begin{aligned} \lambda = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} \end{aligned} }$

$\Large\displaystyle\begin{aligned} \lambda = \frac{3 \pm 1}{2} \Rightarrow \begin{cases}\lambda' = 2\\ \lambda '' = 1 \end{cases} \end{aligned}$

Portanto, os autovalores relacionados a transformação T(x,y)=(x,3x+2y) são respectivamente 1 e 2. Ficando então:

$\Large\displaystyle\begin{aligned} \lambda = \frac{3 \pm 1}{2} \Rightarrow \begin{cases}\lambda' = 2\\ \lambda '' = 1 \end{cases} \end{aligned}$

$\Large\displaystyle\text{ \begin{aligned} \therefore \boxed{\boxed{\green{S= \bigg\{ 1\ ;\ 2 \bigg\} }}} \end{aligned} }$

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Autovalores e autovetores.

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