Question

Determine a equações geral e reduzida das circunferências abaixo

a) passa por P(-2,4) e seu centro é C (6,-2)
b) tem um diâmetro com extremidades em A(-2,6) e B(6,4)

Answer 1

Resposta:

a)

Equação reduzida →  ( x - 6 )² + ( y + 2 )² = 100

Equação Geral  → x²  +  y²  - 12x + 4y  - 60 = 0

b)

Equação reduzida →  ( x - 2)² + (y - 5)² = 17

Equação Geral  →  x² + y² - 4x  - 10y  + 12 = 0

Explicação passo a passo:

Observação 1 → Equação reduzida da circunferência

Tem o seguinte formato:

( x - a)² + ( y - b )² = r²

( a ; b) coordenada do centro C da circunferência

"r" = raio

Vou seguir o seguinte caminho:

1º  encontrar as equações reduzidas

2º determinar as equações gerais, a partir das equações reduzidas

a)

Já temos o Centro

Falta calcular a dimensão do raio.

Observação 2 → O que é o raio de uma circunferência ?

É o segmento de reta que une qualquer ponto da circunferência, com o seu

centro.

A distância entre P ( - 2 ; 4 ) e o C ( 6 ; - 2 ) dá a dimensão do raio

Observação 3 → Distância entre dois pontos ( conhecidas as coordenadas)

Dados dois pontos genéricos :

$A = (x_{1} ;y_{1})$              

$B=(x_{2};y_{2} )$

A distância de A a B obtém-se pela seguinte fórmula

$d_{AB} =\sqrt{(x_{B} -x_{A} )^2+(y_{B}-y_{A})^2 }$

Neste caso :

$d_{PC} =\sqrt{(6 - (-2) )^2+(-2-4)^2 }$

$d_{PC} =\sqrt{(6 +2 )^2+(-6)^2 }=\sqrt{8^2+36} =\sqrt{64+36} =\sqrt{100}=10$

raio = 10

Montagem da Equação Reduzida da Circunferência

( x - 6 )² + ( y - (-2))² = 10²

( x - 6 )² + ( y + 2 )² = 100  

Equação Geral da Circunferência

x² - 2 * x * 6 + 6² + y² + 2 * y * 2 + 2² - 100 = 0

x² - 12 x + 36 + y² + 4y + 4 - 100 = 0

x²  +  y²  - 12x + 4y  + 36 + 4 - 100 = 0

x²  +  y²  - 12x + 4y  - 60 = 0

b)

Nesta alínea, nem nos é dado o centro , nem o raio da circunferência.

Mas

tem um dado que nos ajuda a chegar lá.

[ AB ] é um diâmetro    A ( - 2 ; 6 )      B ( 6 ; 4 )

Observação 4 → O que sabemos quando temos as coordenadas dos

extremos de um diâmetro de uma circunferência?

Se calcularmos o ponto médio, temos a coordenadas do Centro da

circunferência.

Se calcularmos a distância dos extremos do diâmetro, basta dividi-la por 2,

pra ter o raio. ( diâmetro = 2 *raio )

Observação 5 → Cálculo do ponto médio de um segmento de reta

Usa-se a seguinte fórmula:

$M_{AB} =(\dfrac{x_{A} +x_{B} }{2} ; \dfrac{y_{A} +y_{B} }{2} )$

Cálculo do Centro da Circunferência

Neste caso:

$M_{AB} =(\dfrac{-2+6}{2} ; \dfrac{{6+4} }{2} )=(\dfrac{4}{2};\dfrac{10}{2}) =(2;5)$

Centro da circunferência ( 2 ; 5 )

Cálculo do Raio da Circunferência

$d_{AB} =\sqrt{(4-6 )^2+(6-(-2))^2 }$

$d_{AB} =\sqrt{(-2 )^2+(6+2)^2 }=\sqrt{4+64} =\sqrt{68}$

Esta é a dimensão do diâmetro.

$raio = \dfrac{\sqrt{68} }{2}$

Equação Reduzida da Circunferência

$(x-2)^2+(y-5)^2=(\frac{\sqrt{68} }{2} )^{2}$

Cálculo auxiliar da dimensão do raio ao quadrado

$(\frac{\sqrt{68} }{2} )^{2}=\frac{(\sqrt{68}) ^{2} }{2^2} =\dfrac{68}{4} =17$

Fim de cálculo auxiliar

Equação reduzida da circunferência

( x - 2)² + (y - 5)² = 17

Determinação  da Equação Geral desta circunferência

( x - 2)² + (y - 5)² = 17

⇔

x² - 2 * x * 2 + 2² + y² - 2 * y * 5 + 5² - 17 = 0

x² + y² - 4x  - 10y  + 25 + 4  - 17 = 0

x² + y² - 4x  - 10y  + 12 = 0

Bons estudos.