Question

A equação da circunferência com centro C(2-,3) tangente à reta de equação 3x+y+7=0 é?

Answer 1

A equação(reduzida) da circunferência é dada na forma: (x-x0)² + (y-y0)² = r², onde x0 e y0 são as coordenadas do centro e r o raio, neste caso temos as coordenadas do centro, falta encontrar o raio, porem, ele diz que, a circunferência é tangente a reta, isso significa que, o raio vai ser igual a distancia do centro da circunferência para a reta(s)
s: ax + by + c = 0  <>  s: 3x + y + 7 = 0, a=3, b=1 e c=7
C (x0.y0) <> C (2,-3)

r = Dcs(Distancia do centro(c) para o reta(s)) = |a*x0 + b*y0 + c|/(√(a²+b²)), onde x0 e y0 são as coordenadas do centro da circunferência e 'a' e 'b' são os coeficientes da equação da reta.

r = Dcs = | 3*2 + 1*(-3) + 7|/√(3² + 1²)
r = Dcs = | 6 - 3 + 7 |/√10
r = Dcs = |10|/√10
r = Dcs = 10/√10, racionalizando...

r = Dcs = (10/√10)*(√10/√10) = 10*√10/√100 = 10*√10/10 = √10, voltando para a equação,

(x-x0)² + (y-y0)² = r² 

como , C(2,-3) e r=√10, vem:

(x-2)² + (x+3)² = (√10)² 
(x-2)² + (x+3)² = 10 << Equação reduzida da circunferência, caso queira a equação geral, basta desenvolver a equação reduzida, ficando com:

x² - 4x + 4 + y² + 6y + 9 = 10
x² + y² - 4x + 6y + 13 = 10
x² + y² - 4x + 6y + 3 = 0 << Equação Geral da Circunferência.