Question

Usando a transformada da integral de f(t), obtenha a transformada de Laplace de f(t) = cos (8t) sabendo que a transformada de sen (8t) vale 8 s 2 + 64

Answer 1

Encontrando a transformada de Laplace de $f(t)=\cos(8t),$ obtém-se

$\Large\text{ \mathcal{L}\{\cos(8t)\}=\dfrac{s}{s^2+64} .}$

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Nesta questão, deseja-se encontrar a transformada de Laplace da função $f(t)=\cos(8t)$ tendo por base a transformada de $\text{sen}(8t),$ a qual é igual a

$\Large\text{ \mathcal{L}\{\text{sen}(8t)\}=\dfrac{8}{s^2+64}. }$

Para tanto, será utilizado o seguinte teorema.

*  *  *  

Teorema: Se $f(t)$ é uma função derivável e de ordem exponencial e $\dfrac{d}{dt}[f(t)]$ é continua por partes para $t>0,$ então

$\Large\text{ \mathcal{L}\left\{\dfrac{d}{dt}[f(t)]\right\}=s\mathcal{L}\{f(t)\}-f(0). }$

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Desse modo, veja que $\text{sen}(8t)$ é derivável e de ordem exponencial. Além disso, sua derivada, que pode calculada pela regra da cadeia, é

$\Large\dfrac{d}{dt}[\text{sen}(8t)]=8\cos(8t),$

a qual é uma função contínua.

Usando o teorema apresentado e lembrando que a transformada de Laplace é uma transformação linear, segue que:

$\Large\begin{gathered}\displaystyle\mathcal{L}\{8\cos(8t)\}=s\mathcal{L}\{\text{sen}(8t)\}-\text{sen}(8\cdot0)\\\\8\cdot\mathcal{L}\{\cos(8t)\}=s\cdot\frac{8}{s^2+64}-0\\\\\mathcal{L}\{\cos(8t)\}=s\cdot\frac{\diagup\!\!\!\!8}{s^2+64}\cdot\frac{1}{\diagup\!\!\!\!8}\\\\\mathcal{L}\{\cos(8t)\}=\frac{s}{s^2+64}.\end{gathered}$

Portanto, a função que desejávamos encontrar é

$\Large\boxed{\boxed{\mathcal{L}\{\cos(8t)\}=\frac{s}{s^2+64}.}}$

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• brainly.com.br/tarefa/47897969;
• brainly.com.br/tarefa/12578262.

Answer 2

Resposta:

S+1/(S2 + 64)

Explicação passo a passo: