Question

Determine o vetor unitário que seja simultâneamente ortogonal aos vetores u =(5,0,-2) e v =(12,-2/3,7/5).

Answer 1

➜ Um vetor unitário ortogonal aos vetores dados é $\hat{w} =\left( -\frac{4}{\sqrt{8765}} ,-\frac{93}{\sqrt{8765}} ,-\frac{10}{\sqrt{8765}}\right)$

☞ Módulo do vetor $\vec{u}=(a,b,c)$ :

$\large\boxed{||\vec{u} ||=\sqrt{a^2+b^{2} +c^{2}}}$

☞ Um vetor $\vec{w}$ simultaneamente perpendicular aos vetores $\vec{u}=(a_1,b_1,c_1)$ e $\vec{v}=(a_2,b_2,c_2)$ é obtido através do produto vetorial:

$\large\boxed{\vec{w} =\vec{u} \times \vec{v} =\begin{vmatrix}i & j & k\\a_{1} & b_{1} & c_{1}\\a_{2} & b_{2} & c_{2}\end{vmatrix}}$

Em que i, j, k são os vetores canônicos.

☞ Temos $\vec{u}=(5,0,-2)$ e $\vec{v}=(12,-\frac{2}{3},\frac{7}{5})$. Um vetor $\vec{w}$ perpendicular a eles é:

$\vec{w} =\vec{u} \times \vec{v} =\begin{vmatrix}i & j & k\\5 & 0 & -2\\12 & -\frac{2}{3} & \frac{7}{5}\end{vmatrix} =$

$\begin{array}{l}=-24j-\frac{10k}{3} -\left( 7j+\frac{4}{3} i\right) \ \ \ \ \ \ [ Regra\ de\ Sarrus]\\\\=-\frac{4}{3} i-31j-\frac{10}{3} k\\\\=\left( -\frac{4}{3} ,-31,-\frac{10}{3}\right)\end{array}$

☞ Para encontrar um vetor unitário $\hat{w}$, basta dividir $\vec{w}$ pelo seu módulo:

$\begin{array}{l}\hat{w} =\frac{1}{\sqrt{\left( -\frac{4}{3}\right)^{2} +( -31)^{2} +\left( -\frac{10}{3}\right)^{2}}} \cdotp \left( -\frac{4}{3} ,-31,-\frac{10}{3}\right)\\\\=\frac{1}{\sqrt{\frac{16}{9} +961+\frac{100}{9}}} \cdotp \left( -\frac{4}{3} ,-31,-\frac{10}{3}\right)\\\\=\frac{1}{\sqrt{\frac{8765}{9}}} \cdotp \left( -\frac{4}{3} ,-31,-\frac{10}{3}\right)\\\\=\frac{3}{\sqrt{7765}} \cdotp \left( -\frac{4}{3} ,-31,-\frac{10}{3}\right)\end{array}$

$=\left( -\frac{4}{\sqrt{8765}} ,-\frac{93}{\sqrt{8765}} ,-\frac{10}{\sqrt{8765}}\right)$

∴ Um vetor unitário perpendicular aos vetores dados é

$\hat{w} =\left( -\frac{4}{\sqrt{8765}} ,-\frac{93}{\sqrt{8765}} ,-\frac{10}{\sqrt{8765}}\right)$

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