Observe a figura a seguir: Quais poliedros de Kepler-Poinsot satisfazem à relação de Euler? a) Pequeno dodecaedro estrelado e grande dodecaedro estrelado. b) Grande dodecaedro e grande dodecaedro estrelado. c) Grande dodecaedro estrelado e icosaedro estrelado. d) Icosaedro estrelado e grande dodecaedro.
Respostas
Relação de Euler
v+f=a+2
Grande dodecaedro estrelado
20+12=30+2
32=32
Icosaedro estrelado
12+20=30+2
32=32
Letra C
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Os poliedros que satisfazem a relação de Euler são o grande dodecaedro estrelado e o icosaedro estrelado, o que torna correta a alternativa c).
Para resolvermos essa questão, devemos aprender o que é a relação de Euler.
A relação de Euler é uma fórmula matemática que expressa uma relação entre o número de faces, vértices e arestas de um poliedro convexo (que é um sólido que não possui faces onde uma reta traçada entre duas faces se encontra fora desse sólido).
A relação de Euler determina que para um poliedro convexo, V - A + F = 2, onde V = número de vértices, A = número de arestas e F = número de faces do sólido.
Com isso, para cada um dos sólidos, temos:
- Pequeno dodecaedro estrelado: F = 12, V = 12, A = 30. Assim, 12 - 30 + 12 = -6, o que não satisfaz a relação.
- Grande dodecaedro estrelado: F = 12, V = 20, A = 30. Assim, 12 - 30 + 20 = 2, o que satisfaz a relação.
- Grande dodecaedro: F = 12, V = 12, A = 30. Assim, 12 - 30 + 12 = -6, o que não satisfaz a relação.
- Icosaedro estrelado: F = 12, V = 20, A = 30. Assim, 12 - 30 + 20 = 2, o que satisfaz a relação.
Portanto, concluímos que os poliedros que satisfazem a relação de Euler são o grande dodecaedro estrelado e o icosaedro estrelado, o que torna correta a alternativa c).
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