Question

Como fatorar: $x^8-8x^4+16$ ?

Answer 1

Rareirin,

 

Este polinômio é um produto notável do tipo "Quadrado da Soma".

 

Portanto:

 

$<var>x^8-8x^4+16 = (x^4-4)^2</var>$

 

Ficamos, agora, com outro produto notável, do tipo "Diferença de Quadrados".

 

Portanto:

 

$<var>(x^4-4)^2=[(x^2+2)(x^2-2)]^2=(x^2+2)^2(x^2-2)^2=\\\\ =[(x+\sqrt2i)(x-\sqrt2i)]^2[(x+\sqrt2)(x-\sqrt2)]^2=\\\\ =\boxed{(x+\sqrt2i)^2(x-\sqrt2i)^2(x+\sqrt2)^2(x-\sqrt2)^2}</var>$

 

Se igualarmos esta expressão a zero, obtemos facilmente, a partir desta fatoração, as oito raízes do polinômio inicial, sendo duas raízes reais de multiplicidade 2 e duas raízes complexas também de multiplicidade 2.