Question

O cálculo diferencial e integral é um ramo importante da matermática, desenvolvido a partir da álgebra e geometria, dedicando-se ao estudo de taxas de variação de grandezas e a acumulação de quantidades, tais como área abaixo de uma curva ou o volume de um sólido. Logo, de acordo com seus estudos, selecione a alternativa CORRETA para o volume do sólido de revolução pelas seguintes curvas e gráfico, sendo: y = ¼ x² + 1 = 0, em que y = 0, x = 1 e x = 4:

Answer 1

O volume do sólido de revolução em relação ao eixo x e y são

                              $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{V_y = \frac{375\pi}{8}\qquad V_x = \frac{2103\pi}{80}}\end{gathered} }$

Embora o enunciado diga quais curvas delimitam um região do plano xy, ele não deixa claro qual seria o eixo de revolução, obviamente geram sólidos volumes diferentes, neste caso como temos y = 0 e f(x) = 1/4 x^2 + 1, as fórmulas se reduzem a

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\begin{cases}V_y = \pi \int_{1}^{4}f(x)^2\,dx & \text{ eixo x}\\ \\V_x = 2\pi \int_{1}^{4}x f(x)\,dx & \text{ eixo y}\end{cases}\end{gathered}$

Vamos fazer com o sólido de revolução entorno do eixo y primeiro, portanto

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered}V = 2\pi \int_{1}^{4}xf(x)\,dx \\ \\V= 2\pi \int_{1}^{4}x\left(\frac{x^2}{4}+1\right)\,dx \\ \\\end{gathered}$

Podemos fazer a distributiva e resolver a integral de dois monômios ou podemos fazer uma substituição simples, que é o que vou fazer, portanto

                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}u = \frac{x^2}{4} + 1 \Rightarrow du = \frac{x}{2}\,dx\end{gathered}$

Com isso nossa integra fica apenas

                                           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}V= 4\pi \int_{\frac{3}{2}}^{4}u\,du \\ \\\end{gathered} }$

Essa integral é imediata pois

                                $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}, \quad n \ne -1\end{gathered} }$

Logo

                             $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}V = 4\pi \int_{\frac{5}{4}}^{5}u\,du = 4\pi\left.\left[\frac{u^2}{2}\right]\right|_{\frac{5}{4}}^{5} \\ \\\end{gathered} }$

Que fica

                       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}V = 4\pi\left.\left[\frac{u^2}{2}\right]\right|_{\frac{5}{4}}^{5} = 4\pi\underbrace{\left[\frac{5^2}{2} - \frac{\left(\frac{5}{4}\right)^2}{2}\right]}_{\frac{375}{32}} \\ \\\end{gathered} }$

Logo, isso para o eixo y.

                                                $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{V = \frac{375\pi}{8}}\end{gathered} }$

Para o eixo x temos

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered}V = \pi \int_{1}^{4}f(x)^2\,dx \\ \\V= \pi \int_{1}^{4}\left(\frac{x^2}{4}+1\right)^2dx \\ \\\end{gathered}$

Expandindo o quadrado

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered}V= \pi \int_{1}^{4}\left(\frac{x^4}{16}+\frac{x^2}{2}+1\right)dx \\ \\\end{gathered}$

Como a soma das integrais é a integral da soma

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered}V= \pi\left.\left[\frac{x^5}{80}+\frac{x^3}{6}+x\right]\right|_{1}^{4} \\ \\\end{gathered}$

O que resulta em

                   $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}V= \pi\left[\frac{4^5}{80}+\frac{4^3}{6}+4 - \frac{1^5}{80}-\frac{1^3}{6}-1\right] \\ \\\boxed{V = \frac{2103\pi}{80}}\end{gathered} }$

Espero ter ajudado

Qualquer dúvida respondo nos comentários  

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