Question

Alguém poderia me ajudar aqui em função contínua?

Answer 1

Temos a seguinte função:

$f(x) = \begin{cases}x {}^{2} + 2, \: se \: x > 1 \\ x + 4, \: se \: x = 1 \\2x + 1 , \: se \: x < 1 \end{cases}$

Para estudarmos a continuidade desta função no ponto x = 1, devemos lembrar das condições que a função deve atender para ser contínua.

• 1 - A função deve ser definida no ponto onde a continuidade está sendo estudada;

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: f(a) = k$

• 2 - Os limites laterais da função devem ser iguais, ou seja, o limite bilateral deve existir;

$\lim_{x\to a^+}f(x) = \lim_{x\to a^-}f(x) \to \exists\lim_{x\to a}f(x)$

• 3 - O valor da função definida no ponto deve ser igual ao valor do limite bilateral.

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \lim_{x\to a}f(x) = f(x)$

Tendo feito estes comentários, vamos agora verificar de fato a continuidade da função.

×_________________×___________________×

• Restrição 1:

Observando a função dada no enunciado, podemos ver que a mesma é sim definida no ponto x = 1, uma vez que quando x = 1, f(x) = x + 4, portanto, fazendo esta associação, temos que:

$f(x ) = x + 4 , \: se \: x = 1 \\ f(1) = 1 + 4 \\ \boxed{f(1) = 5}$

• Restrição 2:

Os limites laterais, possuirão ambos os x tendendo a 1, então:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \lim_{x\to1^+}f(x) = \lim_{x\to 1^-}f(x)$

Para encontrar as funções f(x) de cada um dos limites laterais, devemos analisar como que o x se aproxima de 1. Se observarmos, quando x tende a 1 pela direta, ele se aproxima de 1 por valores maiores que ele, ou seja, a função que caracteriza isto, é a função que se utiliza do x > 1, do mesmo jeito, quando x se aproxima de 1 pela esquerda, ou seja, valores menores que 1, a função respectiva é a que se utiliza de x < 1, então teremos que:

$\: \: \: \: \: \: \lim_{x\to 1^+}x {}^{2} + 2 = \lim_{x\to 1^-}2x + 1 \\ 1 {}^{2} + 2 = 2.1 + 1 \\ 1 + 2 = 2 + 1 \\ \boxed{3 = 3}$

• Restrição 3:

Agora basta ver se a função definida no ponto é igual ao valor do limite bilateral:

$\lim_{x\to 1}f(x) = f(1) \\ \boxed{ 3 \neq5}$

• Portanto, podemos dizer que a função não é contínua quando x = 1.