Question

Um certo equipamento de 20000 euros vai ser pago durante 6 anos. O pagamento anual é de 4000 euros. A relação entre o custo do equipamento P, o pagamento anual A, o número de anos n e a taxa de juro i é a seguinte: A = P i(1+i)n (1+i) n 1. Utilize o método da bisseccao para determinar a taxa de juros aplicada na negociacao da venda do equipamento.A taxa de juros varia de 5.4% e 5,5%.Adote o criterio de parada de e=0.05.

Answer 1

O método da bissecção consiste em achar a raiz da função, em outras palavras, para este caso, o ponto apartir do qual a taxa de juros não trará prejuizo.
O método é simples, porém lento se comparado ao método de Newton, porém, para casos como este que trabalhão com uma função não-linear ele se mostra mais atrativo.
Para a resolução do problema precisa-se colocar a relação entre A e P em forma de função. Assim, tem-se:
$f(x) = \frac{P.x. (1+i)^{n} }{ (1+x)^{n}-1 } - A$
Aonde x=i e f(x) é a função que apresenta o retorno para a taxa de juros x.

Aplicando o método da bissecção, é necessário ter dois pontos de partida, neste caso, an=5,4 e bn=5,5. Assim como um critério de parada, sendo $e_{n+1} \leq e_{n}/2$ e para o critério inicial considera-se $e_{0}= \frac{bn-an}{bn}$.

Assim, procura-se o ponto médio entre an e bn, chamado cn, faz-se então $f( c_{n})$.
Se o resultado for negativo:
$a_{n+1}= c_{n}$

Answer 2

A taxa de juros aplicada na negociação da venda do equipamento é 5,4718%.

Esta questão está relacionada com amortização. Nesse caso, o financiamento é feito sob juros compostos. Desse modo, são pagas prestações fixas para amortizar o saldo devedor. Assim, utilizamos a seguinte equação para relacionar o valor presente e a prestação:

$PMT=PV\times \frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n-1}$

Onde:

PV: valor presente;

PMT: prestação mensal;

i: taxa de juros;

n: número de períodos.

Devemos nos atentar que a taxa de juros e o período devem estar sob mesma unidade de tempo. Por isso, utilizando o período em anos, vamos obter uma taxa de juros anual. Substituindo os dados na equação, obtemos o seguinte valor:

$4000=20000\times \frac{i(1+i)^6}{(1+i)^6-1} \\ \\ \frac{i(1+i)^6}{(1+i)^6-1}=0,2 \\ \\ i=0,054718=5,4718\%$

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