Question

Qual é a equação da reta que passa pelos pontos (-4, 2) e (2,5)? ​

Answer 1

✅ Equação da reta que passa por dois pontos:

Pela definição de trabalho, uma reta é o "lugar geométrico de um ponto que se desloca no espaço sempre em uma mesma direção". De acordo com esta definição dois pontos pertencem a uma mesma reta se, e somente se, eles forem colineares.

Sejam os pontos do espaço bidimensional:

               $\large\begin{cases}A(-4, 2)\\B(2, 5) \end{cases}$

Se os dois pontos pertencem à mesma reta, então o "determinante da matriz "M" formada por estes pontos será igual a 0", ou seja:

            $\large\displaystyle\begin{gathered}Det(M)= 0 \end{gathered}$

Se a matriz "M" for:

   $\large\displaystyle\begin{gathered}M = \left[\begin{array}{ccc}x&y&1\\X_{A} &Y_{A} &1\\X_{B} &Y_{B} &1\end{array}\right] \end{gathered}$

Então:

   $\large\displaystyle\begin{gathered}M = \left[\begin{array}{ccc}x&y&1\\-4&2&1\\2&5&1\end{array}\right] \end{gathered}$

Calculando o determinante da matriz M, temos:

                                                                             $\large\displaystyle\begin{gathered}Det(M) = 0 \end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered}x.2.1 + y.1.2 + 1.(-4).5 - y.(-4).1 - x.1.5 - 1.2.2 = 0 \end{gathered}$

                                          $\large\displaystyle\begin{gathered}2x + 2y - 20 + 4y - 5x - 4 = 0\end{gathered}$

                                                                  $\large\displaystyle\begin{gathered} -3x + 6y - 24 = 0\end{gathered}$

✅ Portanto, a equação geral da reta "r" é:

                $\large\displaystyle\begin{gathered}r: -3x + 6y - 24 = 0 \end{gathered}$

A partir da equação geral podemos encontrar a equação reduzida. Para isso, devemos isolar "y" no primeiro membro da equação, ou seja:

                $\large\displaystyle\begin{gathered}-3x + 6y - 24 = 0 \end{gathered}$

                      $\large\displaystyle\begin{gathered}6y = 3x + 24 \end{gathered}$

                         $\large\displaystyle\begin{gathered}y = \frac{3x + 24}{6} \end{gathered}$

                         $\large\displaystyle\begin{gathered}y = \frac{3x}{6} + \frac{24}{6} \end{gathered}$

                         $\large\displaystyle\begin{gathered}y = \frac{x}{2} + 4 \end{gathered}$

✅ Portanto, a equação reduzida da reta "r" é:

                       $\large\displaystyle\begin{gathered}r: y = \frac{x}{2} + 4 \end{gathered}$

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Veja também a representação gráfica da equação: