A regra de L'Hôpital, também por vezes denominada regra de Cauchy, foi incorporada no primeiro livro de texto sobre cálculo diferencial, publicado por Guillaume François Antoine, Marquês de L'Hôpital, em 1712. Seu objetivo é calcular o limite de frações nos casos em que há indeterminações do tipo zero sobre zero ou infinito sobre infinito. Utilizando a Regra de L'Hôpital (derivando quantas vezes forem necessárias), determine o valor do limite a seguir:

Anexos:

Respostas

respondido por: vitor404gabriel

Resposta:

Explicação passo a passo:

Anexos:

respondido por: helena3099

Considerando a função dada, vemos que se é preciso utilizar L'Hôpital duas vezes para sair da indeterminação, fazendo isso, temos que o limite da função quando x tende a 1 é dado por 1/6.

Regra de L'Hôpital

A Regra de L'Hôpital nos diz que se temos uma forma indeterminada $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$ podemos então derivar o numerador e derivar o denominador e então calcular o limite, ou seja, se:

$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0}$ ou $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\infty}{\infty}$

Com $a$ podendo ser qualquer número real temos que:

$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(x)}{g'(x)}$

A função dada é:

$\lim_{x \to 1} \frac{1 - x - ln x}{x^3 - 3x + 2}$

Substituindo 1 vemos que:

$\lim_{x \to 1} \frac{1 - 1 - ln 1}{1 - 3 + 2} = \frac{0}{0}$

Ou seja temos uma indeterminação e podemos utilizar a Regra:

derivando o numerador temos:

$f'(x) = (1 - x - lnx)'\\f'(x) = 0 - 1 - \frac{1}{x}\\f'(x) = - \frac{x + 1}{x}$

derivando o denominador:

$g'(x) = (x^3 - 3x + 2)\\g'(x) = 3x^2 -3$

Note que ainda temos uma indeterminação, então derivaremos novamente:

derivando o numerador temos:
$f''(x) = \frac{1}{x^2}$

derivando o denominador:
$g''(x) = 6x$

Logo,

$\lim_{x \to 1} \frac{1 - x - ln x}{x^3 - 3x + 2} = \lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^2} }{6x}\\\lim_{x \to 1} \frac{1 - x - ln x}{x^3 - 3x + 2} = \frac{1}{6}$