Respostas
a) Para calcular a altura da face do octaedro é necessário enxergar que essa altura é um dos lados de um triângulo retângulo que tem como outros dois lados uma aresta de 20 cm e metade (10 cm) de outra aresta de 20 cm. Assim vamos ter 20^2 = 10^2 + Hs^2. Hs^2 = 20^2 - 10^2 => Hs^2 = 400 - 100 => Hs2 = 300 => Hs = V(3•100) = 10V3 cm.
b) Para calcular a área da superfície do octaedro Af calculemos primeiro a área de uma face de um triângulo equilátero que tem como base uma aresta de 20 cm e altura Hs: base (20 cm)•Hs (10V3 cm)/2 = 20•10V3/2 => Af = 100V3 cm^2. A área da superfície As corresponde a 8x a área de face calculada Af = 100V3 ou As = 8•100V3 = 800V3 cm^2.
c) Para calcular a altura do octaedro, vamos calcular a altura de uma de duas pirâmides que o constituem:
para isso devemos calcular a diagonal do quadrado de uma de duas bases quadradas comuns às duas pirâmides quadrangulares que o compõem.
Diagonal da base quadrada Db. Db^2 = A^2 + A^2 => Db^2 = 20^2 + 20^2 => Db^2 = 400 + 400 => Db^2 = 800 => Db = V(2•400) => Db = 20V2 cm.
A altura de uma das pirâmides é:
Hp^2 = Db^2 + A^2 = Hp^2 = (20V2)^ + 20^2 = Hp^2 = 800 + 400 => Hp^2 = V1200 => Hp = V(12•100) => Hp = 200V3.
A altura do octaedro (Ho) é 2•Hp => Ho = 2•200V3 = 400V3 cm.
d) Área de uma face do cubo Fc:
A diagonal do octaedro corresponde ao lado do cubo que é Db = 20V2.
Área de uma face do cubo Fc = Db^2
Fc = (20V2)^2 = 2•400 = 800 cm^2.
Como são 6 faces a área de superfície é 6•800 = 4800 cm^2.