Question

Determine a equação da reta r que passa pelo ponto P=(1,−2,1) e intercepta a reta
r:(x+2)/2 = y − 1 = −z ortogonalmente.

Answer 1

Os pontos de r' são dados por:

$\frac{x+2}{2}=y-1=-z\implies(x,y,z)=(-2,1,0)+t(2,1,-1)\implies\\\\x=-2+2t,\:\:\:y=1+t,\:\:\:z=-t$

Seja v o vetor diretor de r, podemos escrevê-lo como v=P'-P, sendo P o ponto conhecido de r e P' o ponto de intercepção com r'. Portanto, v é dado por:

$\vec{v}=(-2+2t,1+t,-t)-(1,-2,1)\\\\\vec{v}=(-3+2t,3+t,-1-t)$

O vetor diretor de r' é u=(2, 1, -1), portanto, se r é ortogonal a r', o produto interno entre eles é nulo.

$u\cdot v=0\\\\(2,1,-1)\cdot(-3+2t,3+t,-1-t)=0\\\\-6+4t+3+t+1+t=0\\\\6t-2=0\\\\t=\frac{1}{3}$

Desse modo encontramos v:

$\vec{v}=(-3+2t,3+t,-1-t)\\\\\vec{v}=(-3+2.\frac{1}{3},3+\frac{1}{3},-1-\frac{1}{3})\\\\\vec{v}=(\frac{-7}{3},\frac{10}{3},\frac{-4}{3})$

Podemos então determinar a reta r

$(x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+\lambda\vec{v}\\\\(x,y,z)=(1,-2,1)+\lambda(\frac{-7}{3},\frac{10}{3},\frac{-4}{3})$

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$\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}\implies \vec{u}=(a,b,c),\implies(x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+t\vec{u}$