Question

qual é A SOLUÇÃO da inequação X² - 9/ x - 4 < ou = 2x - 3

Answer 1

$\displaystyle \sf \frac{x^2-9}{x-4}\leq 2x-3 \\\\\\ \frac{x^2-9}{x-4}-(2x-3)\leq 0 \\\\\\ \frac{x^2-9-(2x-3)(x-4)}{x-4}\leq 0 \\\\\\ \frac{x^2-9-(2x^2-8x-3x+12)}{x-4}\leq 0 \\\\\\ \frac{x^2-9-(2x^2-11x+12)}{x-4}\leq 0 \\\\\\ \frac{x^2-9-2x^2+11x-12 }{x-4}\leq 0 \\\\\\ \frac{-x^2+11x-21}{x-4}\leq 0$

Numerador :

$\displaystyle \sf -x^2+11x-21 \\\\ raizes : \\\\ x = \frac{-11\pm\sqrt{11^2-4\cdot (-1)\cdot (-21)}}{2\cdot (-1)} \\\\\\ x = \frac{-11\pm\sqrt{121-84}}{-2} \to x = \frac{-11\pm\sqrt{37}}{-2} \\\\\\ x = \frac{11+\sqrt{37}}{2} \ \ ; \ \ x = \frac{11-\sqrt{37}}{2 }$

Parábola com concavidade voltada para baixo, então entre as raízes ela é positiva e fora das raízes negativa.

Denominador :

$\sf x- 4 \\\\ raiz : \\\\ x-4=0 \to x = 4$

Reta crescente. Antes do x = 4 é negativa e após de x = 4 é positiva.

A questão nos pede o valor de menor ou igual, ou seja, quando a expressão é negativa ou vale 0, com isso, vamos fazer a intersecção dos intervalos :

$\displaystyle \sf Numerador : \underline{\ \ \ \ \ - \ \ \ \frac{11-\sqrt{37}}{2}\ \ + \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ + \ \ \frac{11+\sqrt{37}}{2}\ \ \ \ \ - \ \ \ \ \ }\\\\\\ Denominador : \underline {\ \ \ -\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -\ \ \ \ \ \ \ 4\ \ \ \ +\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\ \ \ \ \ \ \ \ } \\\\\\ \frac{Numerador}{denominador } : \underline{\ \ + \ \ \left(\frac{11-\sqrt{37}}{2}\right)\ \ - \ \ (4) \ \ \ \ +\ \ \frac{11+\sqrt{37}}{2} \ \ \ \ - \ }$

Como a questão pede os valores negativos ou que são iguais a 0, temos que :

$\displaystyle \sf S = \left\{ \ x \in \mathbb{R}\ | \ \left(\frac{11-\sqrt{37}}{2}\right)\leq x < 4 \ \ \ OU\ \ \ x\geq \left(\frac{11+\sqrt{37}}{2}\right)\ \right\}\checkmark$

ou então a notação em intervalo :

$\displaystyle \sf x \in \left[\left(\frac{11-\sqrt{37}}{2}\right)\ ,\ 4\ \right) \ \ \ U \ \ \ \left[\left(\frac{11+\sqrt{37}}{2}\right)\ ,\ \infty \ \right ) }$