são dados quatro números em pg crescente a diferença entre os extremos é 124 e a diferença entre os meios é 20 quanto vale as somas desses quatro números
Respostas
A soma desses quatro números vale 156.
Explicação:
O termo geral de uma progressão geométrica é dado por:
aₙ = a₁·q⁽ⁿ⁻¹⁾
em que a₁ é o primeiro termo, q é a razão e n é o número de termos.
Temos quatro números em PG crescente. Logo, eles podem ser expressos por:
1º número (n = 1): a₁ = a₁·q⁽¹⁻¹⁾ => a₁ = a₁·q⁰ => a₁ = a₁
2º número (n = 2): a₂ = a₁·q⁽²⁻¹⁾ => a₂ = a₁·q¹ => a₂ = a₁·q
3º número (n = 3): a₃ = a₁·q⁽³⁻¹⁾ => a₃ = a₁·q² => a₃ = a₁·q²
4º número (n = 4): a₄ = a₁·q⁽⁴⁻¹⁾ => a⁴ = a₁·q³ => a₄ = a₁·q³
A diferença entre os extremos é 124.
a₄ - a₁ = 124
a₁·q³ - a₁ = 124
a₁·(q³ - 1) = 124
a₁·(q - 1)(q² + q + 1) = 124
A diferença entre os meios é 20.
a₃ - a₂ = 20
a₁·q² - a₁·q = 20
a₁·(q² - q) = 20
a₁·q·(q - 1) = 20
a₁ = 20
q·(q - 1)
a₁·(q - 1)(q² + q + 1) = 124
20 ·(q - 1)(q² + q + 1) = 124
q·(q - 1)
20·(q² + q + 1) = 124
q
20q² + 20q + 20 = 124q
20q² + 20q - 124q + 20 =0
20q² - 104q + 20 = 0
q² - 5,2q + 1 = 0
Resolvendo a equação do 2° grau, temos:
q = 5
a₁ = 20
q·(q - 1)
a₁ = 20
5·(5 - 1)
a₁ = 20
5·4
a₁ = 20
20
a₁ = 1
Agora, podemos calcular a soma dos termos.
Sₙ = a₁·(qⁿ - 1)
q - 1
S₄ = 1·(5⁴ - 1)
5 - 1
S₄ = (625 - 1)
4
S₄ = 624
4
S₄ = 156