Question

Determine o 21º termo da PA

Answer 1

Com base no resultado obtido no cálculo o 21° termo da PA é:

$\large \boldsymbol{ \textstyle \sf a_{21} = \dfrac{a^2 +15}{a} }$

Progressão aritmética ( P.A ) é toda sequência  de números na qual a diferença entre cada termo ( a partir  do segundo ) e o termo anterior é constante. essa diferença constante é chamada de razão ( r ) da progressão.

Numa P.A dada por $\boldsymbol{ \textstyle \sf (\: a_1, a_2, a_3, \cdots \:) }$, temos:

$\large \boldsymbol{ \displaystyle \sf a_2 - a_1 = a_3 - a_2 = \cdots = a_n - a_{n-1} = \cdots = r }$

Formula do termo geral de uma P.A:

$\large \boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \sf \sf a_n = a_1 +( n -1) \cdot r }}$

Nessa fórmula temos:

$\large \boldsymbol{ \textstyle \sf a_n \to }$ termo geral;

$\large \boldsymbol{ \textstyle \sf a_1 \to }$ primeiro termo;

$\large \boldsymbol{ \textstyle \sf n \to }$ número de termo até enésimo termo;

$\large \boldsymbol{ \textstyle \sf r \to }$ razão da P.A.

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\large \displaystyle \sf \begin{cases} \sf a_1 = \dfrac{a^2 - 5}{2} \\ \\ \sf a_2 = \dfrac{a^2 - 4}{2} \\\\ \sf n =21 \\ \sf a_{21} = \: ? \end{cases}$

Devemos primeiro encontrar a razão P.A aplicando a definição.

$\large \displaystyle \sf \sf r = a_2 -a_1$

$\large \displaystyle \sf \sf r = \dfrac{a^2 - 4}{a} - \left( \dfrac{a^2 - 5}{a} \right)$

$\large \displaystyle \sf \text { \sf r = \dfrac{\diagup\!\!\!{ a^2} - \diagup\!\!\!{ a^{2}} - 4+5}{a} }$

$\large \displaystyle \sf \sf r = \dfrac{1}{a}$

Aplicando termo geral de uma P.A., que serve para encontrar qualquer termo dessa progressão.

$\large \displaystyle \sf \sf a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r$

$\large \displaystyle \sf \text { \sf a_{21} = \dfrac{a^{2} - 5 }{a} + (21 - 1) \cdot \dfrac{1}{a} }$

$\large \displaystyle \sf \text { \sf a_{21} = \dfrac{a^{2} - 5 }{a} +20 \cdot \dfrac{1}{a} }$

$\large \displaystyle \sf \text { \sf a_{21} = \dfrac{a^{2} - 5 }{a} + \dfrac{20}{a} }$

$\large \displaystyle \sf \text { \sf a_{21} = \dfrac{a^{2} - 5 + 20 }{a} }$

$\large \boxed{ \boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \text { \sf a_{21} = \dfrac{a^{2} + 15 }{a} } }} }$

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