Question

Determine se existir, as coordenadas de um vetor w⃗⃗ sabendo que:w⃗⃗ ⋅ (3,4, −5) = 3 w⃗⃗ × (1,2, −1) = (−3,3,2).

Answer 1

Resposta:

Não existe vetor w que atenda as duas condições w · (3,4, -5) = 3 e w × (1,2, -1) = (-3,3,2).

Explicação passo a passo:

São dados o produto escalar do vetor w por (3,4,-5) e o produto vetorial de w por (1,2,-1):

w.(3,4,-5) = 3                                       (A)

w x (1,2,-1) = (-3,3,2)                            (B)

O produto escalar dos  vetores (x,y,z) e (a,b,c) é dado por:

(x,y,z).(a,b,c) = a*x + b*y + c*z

Já o produto vetorial dos mesmos vetores é:

(x,y,z).(a,b,c) = (y*c − z*b, z*b − x*c, x*b − y*a)

Calculando para os valores dados, sendo w = (x,y,z):

w.(3,4,-5) = (x,y,z).(3,4,-5) = 3

=> 3*x + 4*y - 5*z = 3                                      

w x (1,2,-1) = (x,y,z) x (1,2,-1)  

= (y*-1 - z*2, z*2 - x*-1, x*2 - y*1)

= (-y-2*z, 2*z+x, 2*x-1*y)

Temos então um conjunto de 3 equações em x,y,z:

0*x - 1*y - 2*z = -3

1*x + 0*y + 1*z = 3

2*x - 1*y + 0*z = 2

Isolando y e z em termos de x:

z = 3-x

y = 2*x-2

Substituindo as 2 equações acima na equação (1), obtemos:

3*x + 4*(2*x-2) - 5*(3-x) = 3

=> 3*x + 8*x - 8 - 15 + 5*x = 3

Resolvendo, vem:

16*x = 26

=> x = 13/8

Substituindo o valor de x nas expressões de y e z em termos de x:

z = (3 - 13/8) = 11/8

y = 26/8 - 2 = 10/8  

Mas temos uma terceira equação envolvendo y e z:

0*x - 1*y - 2*z = -3

Substituindo os valores encontrados de y e z, vem:

-10/8 -2*11/8 = -32/8 = - 4

Ou seja, a equação acima não vale para a solução encontrada. Portanto não existe uma solução w = (x,y,z) que atenda as equações (A) e (B) simultaneamente.