Question

Um casal pretende ter 5 filhos e deseja saber qual é a probabilidade de ter:

a) 5 meninos
b) 2 meninos e 3 meninas
c) 1 menino e 4 meninas
d) 1° a ser homem, o 2° mulher, o 3° mulher, o 4° homem, o 5° mulher.​

Answer 1

Admitindo-se que a probabilidade de ter menino ou menina seja a mesma, isto é, 50%, o exercício nos coloca 4 situações diferentes que, no entanto, podem ser divididas em dois cenários distintos.  

No 1° cenário, representado pelos itens (a), (b) e (c), temos uma pré-definição do gênero dos bebês, porém não há qualquer definição da ordem que estes nascimentos ocorrerão, logo podemos moldar este cenário como uma distribuição binomial.

$\sf P~=~C_{n,k}\cdot p^k\cdot(1-p)^{n-k}\\\\\\Onde:~~\left\{\begin{array}{ccl}\sf n&:&\sf Total~de~eventos~(qnt~de~filhos)\\\sf k&:&\sf Total~de~meninas~(ou~meninos)\\\sf p&:&\sf Probabilidade~de~nascer~menina~(ou ~menino)\end{array}\right.$

No 2º cenário, representado pelo item (d), há uma pré-definição tanto do gênero quanto da ordem de nascimento dos bebês, portanto podemos simplesmente multiplicar as probabilidades de ocorrência de cada nascimento.

a)

n = 5

k = 0

p = 50% = 0,5

$\sf P~=~C_{5,0}\cdot 0,5^0\cdot(1-0,5)^{5-0}\\\\\\\sf P~=~\dfrac{5!}{0!\cdot (5-0)!}\cdot 1\cdot(0,5)^{5}\\\\\\\sf P~=~\dfrac{5!}{1\cdot 5!}\cdot 1\cdot0,03125\\\\\\\sf P~=~1\cdot 1\cdot0,03125\\\\\\\boxed{\sf P~=~0,03125}\\\\\\Multiplicando~por~100\%,~temos~a~probabilidade~percentual:\\\\\\P~=~0,03125\cdot 100\%\\\\\\\boxed{\sf P~=~3,125\%}$

b)

n = 5

k = 3

p = 50% = 0,5

$\sf P~=~C_{5,3}\cdot 0,5^3\cdot(1-0,5)^{5-3}\\\\\\\sf P~=~\dfrac{5!}{3!\cdot (5-3)!}\cdot \dfrac{1}{8}\cdot(0,5)^{2}\\\\\\\sf P~=~\dfrac{5\cdot 4\cdot 3!}{3!\cdot 2!}\cdot \dfrac{1}{8}\cdot\dfrac{1}{4}\\\\\\\sf P~=~\dfrac{5\cdot 4}{2\cdot 1}\cdot \dfrac{1}{32}\\\\\\\sf P~=~\dfrac{10}{32}\\\\\\\sf \boxed{\sf P~=~0,3125}\\\\\\Multiplicando~por~100\%,~temos~a~probabilidade~percentual:\\\\\\P~=~0,3125\cdot 100\%\\\\\\\boxed{\sf P~=~31,25\%}$

c)

n = 5

k = 4

p = 50% = 0,5

$\sf P~=~C_{5,4}\cdot 0,5^4\cdot(1-0,5)^{5-4}\\\\\\\sf P~=~\dfrac{5!}{4!\cdot (5-4)!}\cdot \dfrac{1}{16}\cdot(0,5)^{1}\\\\\\\sf P~=~\dfrac{5\cdot 4!}{4!\cdot 1!}\cdot \dfrac{1}{16}\cdot\dfrac{1}{2}\\\\\\\sf P~=~\dfrac{5}{1}\cdot \dfrac{1}{32}\\\\\\\sf P~=~\dfrac{5}{32}\\\\\\\sf \boxed{\sf P~=~0,15625}\\\\\\Multiplicando~por~100\%,~temos~a~probabilidade~percentual:\\\\\\P~=~0,15625\cdot 100\%\\\\\\\boxed{\sf P~=~15,625\%}$

d)

Como cada novo nascimento é um evento independente, ou seja, a probabilidade de um não é afetada pelo nascimento anterior, teremos 50% de chances de o primeiro filho ser menino, 50% de o segundo ser menina e 50% de os próximos serem, respectivamente, menina, menino e menina.

Multiplicando as probabilidades, temos:

$\sf P~=~\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}\\\\\\P~=~\dfrac{1}{32}\\\\\\\boxed{\sf P~=~0,03125}\\\\\\Multiplicando~por~100\%,~temos~a~probabilidade~percentual:\\\\\\P~=~0,03125\cdot 100\%\\\\\\\boxed{\sf P~=~3,125\%}$

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$