Question

Determine a quantidade de zíperes que devem ser produzidos e vendidos mensalmente, para que se obtenha o lucro máximo. Dica: utilize o teste da segunda derivada.

Answer 1

Resposta:

mapa completo calculo diferencial e integral I

Explicação passo a passo:

MAPA Cálculo Diferencial e Integral I

 

Etapa 1

1.a. Encontre a função custo (C(x)).

Resposta:  cf = 500     cv = 35 . x            R(x)=80.x

C(x)=500+35.x

1.b. Encontre a função receita (R(x)).  

Resposta:  R(x) = 80 . x

1.c. Encontre a função lucro (L(x)).

Resposta:  

L(x) = R(x) – C(x)

L(x) =  80x – (500 + 35x)

L(x) =  80x – 500 - 35x

L(x) =  80x – 35x – 500

L(x) =  45x – 500

1.d. Utilizando o software Geogebra, trace o gráfico da função lucro, e determine o lucro para a venda de 100 peças de calças jeans.

Resposta  

L(100) = 45 . 100 – 500

L(100) = 4500  – 500

L(100) = 4000

 

Etapa 2

2.a. Encontre a função lucro.

Resposta

Receita r(x)

R(x)=10.000x             x≥0

Custo C(x)=1000x³ + 1000x² + 2000x – 1000

Lucro L(x)

L(x) =  R(x) – C(x)

L(x) = 10.000x – (1000x³ + 1000x² + 2000x – 1000)

L(x)= 10.000x - 1000x³ - 1000x² - 2000x + 1000

L(x)=  - 1000x³  - 1000x² + 8000x + 1000

2.b. Determine a quantidade de zíperes que devem ser produzidos e vendidos mensalmente, para que se obtenha o lucro máximo. Dica: utilize o teste da segunda derivada.

Resposta

Quantidade de zíperes = 1,33 milhares  

F (x) = 0

F (x) = -3000x2 – 2000x + 8000

           -3000x2 – 2000x + 8000 = 0

           -3x2 – 2x + 8 = 0

           ∆ = 4-4. (-3). 8

           ∆ = 100

           ±x=(2±√100)/(2.(-3))                  x=(2±10)/(2-6)            X1 = 12/-6 = -2

           X2 = -8/-6 = 4/3

APLICANDO O TESTE DA DERIVADA SEGUNDA:

F (x) = -6000x - 2000

F (-2) = -6000 (-2) – 2000 = 1000 > o ponto de equilibrio

F (4/3) = -6000 (4/3) – 2000 = -10000 < o ponto de máximo.

Para obter o lucro maximo, é preciso produzir 4/3 milhares de zíperes ou 1.333 zíperes.

I (x) = -1000x3 – 1000x2 + 8000x + 1000

2.c. Utilizando o software Geogebra, trace o gráfico da função lucro, e localize o ponto máximo.

Resposta

 

Etapa 3

3.a. Qual a economia de custos operacionais que a compra do equipamento irá resultar nos 4 primeiros anos?

Resposta

 ⁴                                        ⁴                            ⁴                                                                  ⁴

ꭍ     (1000x +250) dx =    ꭍ           ⇒             ꭍ     (1000x +250) dx =  [500x² +250]     ꭍ        ⇒

₀                                         ₀                           ₀                                                                   ₀

 ⁴                                        ⁴                            ⁴             ⁴                                                                     ⁴

ꭍ     (1000x +250) dx =   [500x² +250x]     ꭍ      ⇒    ꭍ       (1000x +250) dx =  [250x (2x+1)]     ꭍ        ⇒

₀                                         ₀                           ₀             ₀                                                                     ₀

 ⁴                                                                                      ⁴                                                                    

ꭍ     (1000x +250) dx =   250  x  4 (2  x  4  +1)   ⇒    ꭍ      (1000x +250) dx =  1000 (8+1)  ⇒            

₀                                                                                      ₀                                                                    

 ⁴

ꭍ    (1000x + 250) dx=9000

₀

3.b. Após quantos anos o equipamento estará pago, se o mesmo custa R$ 35.000,00?

Resposta

 ˠ                                                                        ˠ

ꭍ     (1000x+250) dx= 250x (2x + 1)      ⇒  ꭍ     (1000x+250) dx= 35000  ⇒    logo:  250x (2x+1) = 35000    

₀                                                                         ₀

X (2x+1) -  3500   ⇒ (2x +1)  = 140

                   250

2x² + x -140=0   ⇒  ∆ = 1²   x  4  x   2 (-140) ⇒ ∆ = 1+ 1120   ⇒ ∆ = 1121

           

X= - 1 ± √1121  ⇒    X= - 1 ± √1121  ⇒    x = 8,12 anos

             2.2                              4