Question

Encontre a solução geral das seguintes equação:
x² y" − 3xy' + 3y = inx x>0

Answer 1

Primero resolvamos la EDO homogénea: $x^2y''-3xy'+3y=0$

Sea $y=x^m$ entonces
 
                                   $y'=mx^{m-1}\\ \\ y''=m(m-1)x^{m-2}$

Por ende de la EDO homogénea se obtiene

$(m^2-4m+3)x^m=0\to m^2-4m+3=0\to m\in\{1,3\}$

Así la solución de la EDO homogénea es: $y_c=C_1x+C_2x^3$

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Con ayuda del Wronskiano resolvamos la siguiente ecuación matricial

$\left[\begin{matrix} x&x^3\\ 1&3x^2 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} u_1'\\u_2' \end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix} 0\\ \ln x/x^2 \end{matrix}\right]\\ \\ \\ u_1'=-\dfrac{\ln x}{2x^2}\wedge u_2'=\dfrac{\ln x}{2x^4}\\ \\ \\ \\ u_1=\dfrac{<span>\ln x</span>}{2x}+\dfrac{1}{2x}\\ \\ \\ u_2=-\dfrac{\ln x}{6x^3}-\dfrac{1}{18x^3}$


$\textit{Por ende la soluci\'on es: }\\ \\ y=C_1x+C_2x^3+\dfrac{\ln x}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{\ln x}{6}-\dfrac{1}{18}\\ \\ \\ \boxed{y=C_1x+C_2x^3+\dfrac{1}{3}\ln x+\dfrac{4}{9}}$