Question

Verifique se os pontos A(2, 3), B(4, 6) e C(-4,-6) estão alinhados.​

Answer 1

De acordo com os cálculos e com os dados do enunciado, podemos afirma que o os pontos estão alinhados.

Três pontos estão alinhados se, e somente se, pertencerem à mesma reta. ( Vide a figura em anexo ).

Pelo teorema de Tales:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{A_1 B_1}{A_1 C_1} \Rightarrow \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{x_2 -x_1}{x_3 - x_1} } \quad (\ I \ ) }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{A_2 B_2}{A_2 C_2} \Rightarrow \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{y_2 - y_1}{y_3 - y_1} } \quad (\ I\: I \ ) }$

Comparando ( I ) e ( I I ), temos:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{x_2 -x_1}{x_3 - x_1} = \dfrac{y_2 - y_1}{y_3- y_1} \Rightarrow \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \dfrac{y_3 - y_1}{x_3- x_1} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} - \dfrac{y_3 - y_1}{x_3- x_1} } = 0 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ (x_3 -x_1) \cdot ( y_2 - y_1) - (x_2 -x_1) \cdot ( y_3 - y_1) = 0 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ x_1 \cdot y_2 -x_1 \cdot y_3 +x_2 \cdot y_3 -x_2 \cdot y_1 + x_3 \cdot y_1 -x_3 \cdot y_2 = 0 }$

Se três pontos $\large \boldsymbol{ \textstyle \sf A ( x_1, y_1 ) }$, $\large \boldsymbol{ \textstyle \sf B ( x_2, y_2 ) }$ e $\large \boldsymbol{ \textstyle \sf C ( x_3, y_3 ) }$ estão alinhados, então:

$\Large \displaystyle \sf \begin{array}{ |r r r |} \sf x_1 & \sf y_1 & \sf 1 \\ \sf x_2 & \sf y_2 & \sf 1 \\ \sf x_3 & \sf y_3 & \sf 1 \end{array} \quad \Large \displaystyle \mathsf{ =0 }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \sf \begin{cases} \sf A ( 2,3) \\ \sf B(4, 6) \\ \sf C (-4, - 6 ) \end{cases}$

Para verificar se estão alinhados, basta usar a regra do determinantes.

$\Large \displaystyle \sf \begin{array}{ |r r r |} \sf 2& \sf 3& \sf 1 \\ \sf 4 & \sf 6 & \sf 1 \\ \sf -4 & \sf -6 & \sf 1 \end{array} \quad \Large \displaystyle \mathsf{ =0 }$

Aplicando a propriedade de determinantes, temos:

Se duas filas de uma matriz são iguais, então seu determinante é nulo.

Pela propriedade do determinante  os pontos estão alinhados.

Pelo método Sarrus:

$\Large \sf \displaystyle \sf \begin{array}{ |r r r | r r |} \sf 2 & \sf 3 & \sf 1 & \sf 2 & \sf 3 \\ \sf 4 & \sf 6 & \sf 1 & \sf 4 &\sf 6 \\ \sf-4 & \sf -6 & \sf 1 & \sf -4 &\sf -6\end{array} \quad \Large \displaystyle \mathsf{ = 0 }$

Diagonal principal:

$\Large \displaystyle \mathsf{D_P = + 12 - 12 - 24= - 24 }$

Diagonal segundaria:

$\Large \displaystyle \mathsf{D_P = -24 - 12 + 12 = - 24 }$

Diagonal é igual a diagonal principal menos a diagonal secundária

Somatório diagonal principal – Somatório diagonal secundária

$\Large \displaystyle \mathsf{ D = D_P - D_S }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ D = -24 - (-24) }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ D = -24 + 24 }$

$\Large \boxed{ \boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \sf D = 0 }} }$

Pelo resultado do determinante verificamos que os pontos estão alinhados.

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