Question

Determine a e b, sabendo que o polinômio 6x^{4}-3x^{3}+ax^{2}+bx-12 é divisível por 3x^{2}-4

Answer 1

Ao dividir polinômio  $\sf 6x^{4}-3x^{3}+ax^{2}+bx-12$  por $\sf 3x^2-4$, teremos um quociente de grau 2, daí :

$\displaystyle \sf (3x^2-4)\cdot (mx^2+nx+c)=6x^4-3x^3+ax^2+bx-12 \\\\ 3mx^4+3nx^3+3cx^2-4mx^2-4nx-4c=6x^4-3x^3+ax^2+bx-12 \\\\ 3mx^4 +3nx^3+x^2(3c-4m)-4nx-4c=6x^4-3x^3+ax^2+bx-12$

Para que dois polinômios sejam iguais os seus coeficientes devem ser iguais, então :

$\sf -4c = -12 \to c = 3 } \\\\ 3m = 6 \to m = 2 \\\\ 3n=-3 \to n = -1 \\\\ 3c-4m = a \to 3\cdot 3-4\cdot 2 =a \to 9-8 = a \to \boxed{ \sf a = 1 } \\\\ -4n = b \to -4\cdot(-1)=b \to \boxed{\sf b = 4 } \\\\\\ Portanto \\\\\ \huge\boxed{\sf a = 1 \ \ , \ b = 4}\checkmark$

letra c