Question

2- Calcule a derivada da função f(x) = 5x² + 12x - 10, usando a definição de derivada.

Answer 1

$\large\boxed{\begin{array}{l}\underline{\rm D~\!\!efinic_{\!\!,}\tilde ao\,de\,derivada}\\\displaystyle\rm f'(x)=\lim_{h \to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\\\\\displaystyle\rm f'(x)=\lim_{h \to 0}\dfrac{5\cdot(x+h)^2+12\cdot(x+h)-10-(5x^2+12x-10)}{h}\end{array}}$

$\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\rm f'(x)=\lim_{h \to 0}\dfrac{ 5(x^2+2hx+h^2)+12(x+h)-10-5x^2-12x+10}{h}\\\\\displaystyle\rm f'(x)=\lim_{h \to 0}\dfrac{\diagup\!\!\!\!\!\!\!5x^2+10hx+5h^2+\diagup\!\!\!\!\!12x+12h-\diagup\!\!\!\!10-\diagup\!\!\!\!\!\!5x^2-\diagup\!\!\!\!\!12x+\diagup\!\!\!\!10}{h}\\\\\displaystyle\rm f'(x)=\lim_{ h \to 0}\dfrac{5h^2+10hx+12h}{h}\\\\\displaystyle\rm f'(x)=\lim_{h \to 0}\dfrac{\diagup\!\!\!h\cdot(5h+10x+12)}{\diagup\!\!\!h}\end{array}}$

$\large\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\rm f'(x)=\lim_{h \to 0}5h+10x+12=10x+12\end{array}}$

Answer 2

Resposta:

f'(x) = 10x+12

Explicação passo a passo:

Relembrando o Conceito:

Vamos relembrar que a definição da derivada é dado pelo limite:

                                 $f'(x) = \lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Resolvendo o Exercício:

Primeiro vamos começar descobrindo f(x+h) e isso basta subsistirmos na expressão dada:

f(x+h) = 5(x+h)² + 12(x+h) - 10 = 5(x² + 2xh + h²) +12x + 12h - 10=>

f(x+h) = 5x² + 10xh +5h² +12x +12h - 10.

Agora fazendo f(x+h) - f(x) temos

f(x+h) - f(x) = 5x² + 10xh +5h² +12x +12h - 10 - (5x² + 12x - 10) =>

f(x+h) - f(x) = 5h² + 10xh + 12h

Bom feito isso basta aplicarmos o limite

$\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{5h^2 + 10xh + 12h}{h}$, colocamos o h em evidência temos

$\lim_{h \to 0} \frac{5h^2 + 10xh + 12h}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h(5h + 10x + 12)}{h}$, simplificamos o h

$\lim_{h \to 0} 5h + 10x + 12 = 10x + 12$

Com isso concluímos que f'(x) = 10x+12